Question

Una moneda injusta cae en cara con probabilidad $\dfrac14.$ Al lanzarla $n$ veces, la probabilidad de exactamente dos caras es la misma que la probabilidad de exactamente tres caras. ¿Cuál es el valor de $n$ ?

An unfair coin lands on heads with a probability of $\dfrac14.$ When tossed $n$ times, the probability of exactly two heads is the same as the probability of exactly three heads. What is the value of $n?$

$5$

$8$

$10$

$11$

$13$

Solución:

Igualando las dos probabilidades y cancelando las potencias comunes de $\tfrac14$ y $\tfrac34$ da $\binom{n}{2}\cdot\dfrac34 = \binom{n}{3}\cdot\dfrac14.$

Esto se convierte en $\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 3$ $= \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6},$ así que $\dfrac32 = \dfrac{n-2}{6},$ dando $n - 2 = 9$ y $n = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Setting the two probabilities equal and cancelling the common powers of $\tfrac14$ and $\tfrac34$ gives $\binom{n}{2}\cdot\dfrac34 = \binom{n}{3}\cdot\dfrac14.$

This becomes $\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot 3$ $= \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6},$ so $\dfrac32 = \dfrac{n-2}{6},$ giving $n - 2 = 9$ and $n = 11.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años