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2023 AMC 12B Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2023 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

El triángulo ABCABC tiene longitudes de lados en progresión aritmética, y el lado más pequeño tiene longitud 6.6. Si el triángulo tiene un ángulo de 120∘,120^\circ, ¿cuál es el área de ABCABC?

Triangle ABCABC has side lengths in arithmetic progression, and the smallest side has length 6.6. If the triangle has an angle of 120∘,120^\circ, what is the area of ABC?ABC?

12312\sqrt{3}

868\sqrt{6}

14214\sqrt{2}

20220\sqrt{2}

15315\sqrt{3}

Respuesta: E
Conceptos:sucesión aritméticaley de los cosenosárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:

Sean los lados 6, 6+d, 6+2d;6,\ 6+d,\ 6+2d; el ángulo de 120∘120^\circ es opuesto al lado más largo

Let the sides be 6, 6+d, 6+2d;6,\ 6+d,\ 6+2d; the 120∘120^\circ angle is opposite the longest side

Pista grande:

Aplica la ley de cosenos con cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\tfrac12 para hallar d,d, luego el área =12absin⁡120∘=\tfrac12ab\sin 120^\circ

Apply the law of cosines with cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\tfrac12 to find d,d, then area =12absin⁡120∘=\tfrac12ab\sin 120^\circ

Solución:

Sean los lados 6, 6+d, 6+2d.6,\ 6+d,\ 6+2d. El ángulo de 120∘120^\circ está frente al lado más largo, así que (6+2d)2=62+(6+d)2(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2 −2⋅6⋅(6+d)cos⁡120∘.-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ. Usando cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\tfrac12 se obtiene 3d2+6d−72=0,3d^2+6d-72=0, así que d=4d=4 y los lados son 6,10,14.6,10,14. El área es 12⋅6⋅10⋅sin⁡120∘\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ =30⋅32=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =153.=15\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the sides be 6, 6+d, 6+2d.6,\ 6+d,\ 6+2d. The 120∘120^\circ angle faces the longest side, so (6+2d)2=62+(6+d)2(6+2d)^2=6^2+(6+d)^2 −2⋅6⋅(6+d)cos⁡120∘.-2\cdot 6\cdot(6+d)\cos 120^\circ. Using cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\tfrac12 gives 3d2+6d−72=0,3d^2+6d-72=0, so d=4d=4 and the sides are 6,10,14.6,10,14. The area is 12⋅6⋅10⋅sin⁡120∘\tfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin 120^\circ =30⋅32=30\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =153.=15\sqrt3.

Thus, the correct answer is E.

Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

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