Question

Un bicho parte de un vértice de una cuadrícula formada por triángulos equiláteros de lado $1.$ En cada paso el bicho se mueve en una de las $6$ direcciones posibles a lo largo de las líneas de la cuadrícula de forma aleatoria e independiente con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que después de $5$ movimientos el bicho nunca haya estado a más de $1$ unidad de la posición inicial?

A bug starts at a vertex of a grid made of equilateral triangles of side length $1.$ At each step the bug moves in one of the $6$ possible directions along the grid lines randomly and independently with equal probability. What is the probability that after $5$ moves the bug never will have been more than $1$ unit away from the starting position?

$\dfrac{13}{108}$

$\dfrac{7}{54}$

$\dfrac{29}{216}$

$\dfrac{4}{27}$

$\dfrac{1}{16}$

Solución:

Mantenerse a distancia $1$ significa que el bicho está siempre en el origen o en uno de sus $6$ vecinos. Desde el origen, los $6$ movimientos están permitidos. Desde un vecino, solo $3$ movimientos lo mantienen en rango: de vuelta al origen, o a cualquiera de los dos vecinos adyacentes.

Sean $a_k$ y $b_k$ el número de trayectorias válidas de $k$ pasos que terminan en el origen y en un vecino. Entonces $a_{k+1} = b_k$ y $b_{k+1} = 6a_k + 2b_k,$ partiendo de $a_0 = 1,$ $b_0 = 0.$

Iterando se obtiene $b_1 = 6,$ luego $(a_2, b_2) = (6, 12),$ $(a_3, b_3) = (12, 60),$ $(a_4, b_4) = (60, 192),$ $(a_5, b_5) = (192, 744).$ El número total de trayectorias válidas es $192 + 744 = 936.$

La probabilidad es $\dfrac{936}{6^5} = \dfrac{936}{7776} = \dfrac{13}{108}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Staying within distance $1$ means the bug is always at the origin or one of its $6$ neighbors. From the origin, all $6$ moves are allowed. From a neighbor, only $3$ moves keep it in range: back to the origin, or to either of the two adjacent neighbors.

Let $a_k$ and $b_k$ count valid $k$ -step paths ending at the origin and at a neighbor. Then $a_{k+1} = b_k$ and $b_{k+1} = 6a_k + 2b_k,$ starting from $a_0 = 1,$ $b_0 = 0.$

Iterating gives $b_1 = 6,$ then $(a_2, b_2) = (6, 12),$ $(a_3, b_3) = (12, 60),$ $(a_4, b_4) = (60, 192),$ $(a_5, b_5) = (192, 744).$ The total number of valid paths is $192 + 744 = 936.$

The probability is $\dfrac{936}{6^5} = \dfrac{936}{7776} = \dfrac{13}{108}.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Fall Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años