Question

Supón que $a$ es un número real tal que la ecuación

$a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)$

tiene más de una solución en el intervalo $(0,\pi).$ El conjunto de todos esos $a$ se puede escribir en la forma $(p,q)\cup(q,r),$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son números reales con $p\lt q\lt r.$ ¿Cuánto vale $p+q+r$ ?

Suppose $a$ is a real number such that the equation

$a\cdot(\sin x+\sin(2x))=\sin(3x)$

has more than one solution in the interval $(0,\pi).$ The set of all such $a$ can be written in the form $(p,q)\cup(q,r),$ where $p,$ $q,$ and $r$ are real numbers with $p\lt q\lt r.$ What is $p+q+r?$

$-4$

$-1$

$0$

$1$

$4$

Solución:

Como $\sin x\ne0$ en $(0,\pi),$ divide entre $\sin x:$ $\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1). \end{gathered}$

Cuando $\cos x=-\tfrac12$ (es decir, $x=\tfrac{2\pi}{3}$ ) ambos lados se anulan, así que esto es una solución para todo $a.$ En otro caso podemos cancelar $1+2\cos x$ para obtener $a=2\cos x-1,$ o sea $\cos x=\dfrac{a+1}{2}.$

Esto da una segunda solución en $(0,\pi)$ exactamente cuando $-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1,$ es decir $a\in(-3,1),$ y es distinta de $x=\tfrac{2\pi}{3}$ salvo que $a=-2.$

Así que hay más de una solución cuando $a\in(-3,-2)\cup(-2,1),$ dando $p+q+r=-3-2+1=-4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\sin x\ne0$ on $(0,\pi),$ divide by $\sin x:$ $\begin{gathered} a(1+2\cos x)=4\cos^2 x-1 \\ =(2\cos x-1)(2\cos x+1). \end{gathered}$

When $\cos x=-\tfrac12$ (that is, $x=\tfrac{2\pi}{3}$ ) both sides vanish, so this is a solution for every $a.$ Otherwise we may cancel $1+2\cos x$ to get $a=2\cos x-1,$ i.e. $\cos x=\dfrac{a+1}{2}.$

This yields a second solution in $(0,\pi)$ exactly when $-1\lt\dfrac{a+1}{2}\lt1,$ that is $a\in(-3,1),$ and it is distinct from $x=\tfrac{2\pi}{3}$ unless $a=-2.$

So more than one solution occurs for $a\in(-3,-2)\cup(-2,1),$ giving $p+q+r=-3-2+1=-4.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años