Question

Farmer Pythagoras tiene un campo en forma de triángulo rectángulo. Los catetos del triángulo rectángulo tienen longitudes de $3$ y $4$ unidades. En la esquina donde esos lados se encuentran en ángulo recto, deja un pequeño cuadrado sin cultivar $S$ de modo que desde el aire parece el símbolo de ángulo recto. El resto del campo está cultivado. La distancia más corta de $S$ a la hipotenusa es $2$ unidades. ¿Qué fracción del campo está cultivada?

Farmer Pythagoras has a field in the shape of a right triangle. The right triangle’s legs have lengths of $3$ and $4$ units. In the corner where those sides meet at a right angle, he leaves a small unplanted square $S$ so that from the air it looks like the right angle symbol. The rest of the field is planted. The shortest distance from $S$ to the hypotenuse is $2$ units. What fraction of the field is planted?

$\tfrac{25}{27}$

$\tfrac{26}{27}$

$\tfrac{73}{75}$

$\tfrac{145}{147}$

$\tfrac{74}{75}$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia área

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Coloca el ángulo recto en el origen de modo que la hipotenusa sea la recta $3x + 4y = 12$

Put the right angle at the origin so the hypotenuse is the line $3x + 4y = 12$

Pista grande:

La esquina lejana $(s, s)$ del cuadrado está a distancia $2$ de esa recta; resuelve $\tfrac{|3s + 4s - 12|}{5} = 2$ y conserva la raíz válida

The far corner $(s, s)$ of the square is distance $2$ from that line; solve $\tfrac{|3s + 4s - 12|}{5} = 2$ and keep the valid root

Solución:

Coloca el ángulo recto en el origen con los catetos sobre los ejes, así que los vértices son $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(0, 0),$ y el cuadrado $S$ es $[0, s] \times [0, s].$ La hipotenusa es $3x + 4y - 12 = 0,$ y la distancia desde su esquina más cercana $(s, s)$ es $\frac{|3s + 4s - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7s - 12|}{5} = 2.$ Esto da $s = \tfrac{22}{7}$ o $s = \tfrac27;$ solo $s = \tfrac27$ mantiene el cuadrado dentro del triángulo.

El campo tiene área $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ y el cuadrado sin cultivar tiene área $\left(\tfrac27\right)^2 = \tfrac{4}{49}.$ La fracción cultivada es $1 - \frac{\frac{4}{49}}{6} = 1 - \frac{2}{147} = \frac{145}{147}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the right angle at the origin with legs on the axes, so the vertices are $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(0, 0),$ and the square $S$ is $[0, s] \times [0, s].$ The hypotenuse is $3x + 4y - 12 = 0,$ and the distance from its nearest corner $(s, s)$ is $\frac{|3s + 4s - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7s - 12|}{5} = 2.$ This gives $s = \tfrac{22}{7}$ or $s = \tfrac27;$ only $s = \tfrac27$ keeps the square inside the triangle.

The field has area $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ and the unplanted square has area $\left(\tfrac27\right)^2 = \tfrac{4}{49}.$ The planted fraction is $1 - \frac{\frac{4}{49}}{6} = 1 - \frac{2}{147} = \frac{145}{147}.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años