Question

Sean $f(x)=10^{10x},$ $g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),$ $h_1(x)=g(f(x)),$ y $h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))$ para enteros $n\ge2.$ ¿Cuál es la suma de las cifras de $h_{2011}(1)$ ?

Let $f(x)=10^{10x},$ $g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),$ $h_1(x)=g(f(x)),$ and $h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))$ for integers $n\ge2.$ What is the sum of the digits of $h_{2011}(1)?$

$16{,}081$

$16{,}089$

$18{,}089$

$18{,}098$

$18{,}099$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo recursión dígitos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Simplifica $h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)$ a una función lineal.

Simplify $h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)$ to a linear function

Pista grande:

Al iterar se obtiene $h_n(1)$ como un número cuyas cifras son todas $8$ y termina en $9$ .

Iterating gives $h_n(1)$ as a number whose digits are all $8$ ’s ending in a $9$

Solución:

Primero, $\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1. \end{aligned}$

Al iterar, $h_n(x)=10^n x$ $-(1+10+\cdots+10^{n-1}).$ Por lo tanto $h_n(1)$ es un entero de $n$ cifras cuya cifra de las unidades es $9$ y todas las demás cifras son $8.$

Para $n=2011,$ la suma de las cifras es $8\cdot2010+9=16{,}089.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

First, $\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1. \end{aligned}$

Iterating, $h_n(x)=10^n x$ $-(1+10+\cdots+10^{n-1}).$ Therefore $h_n(1)$ is an $n$ -digit integer whose units digit is $9$ and all of whose other digits are $8.$

For $n=2011,$ the digit sum is $8\cdot2010+9=16{,}089.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años