2011 AMC 12B — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\dfrac{2+4+6}{1+3+5} - \dfrac{1+3+5}{2+4+6}?$

What is

$\dfrac{2+4+6}{1+3+5} - \dfrac{1+3+5}{2+4+6}?$

$-1$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{147}{60}$

$\dfrac{43}{3}$

Respuesta: C

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Primero suma los términos de cada numerador y denominador.

Add the terms in each numerator and denominator first

Pista grande:

La expresión se convierte en $\dfrac{12}{9}-\dfrac{9}{12}$ .

The expression becomes $\dfrac{12}{9}-\dfrac{9}{12}$

Solución:

Las sumas son $2+4+6=12$ y $1+3+5=9,$ así que la expresión es igual a $\dfrac{12}{9}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}.$

Con un denominador común esto es $\dfrac{16}{12}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{7}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sums are $2+4+6=12$ and $1+3+5=9,$ so the expression equals $\dfrac{12}{9}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{4}.$

Over a common denominator this is $\dfrac{16}{12}-\dfrac{9}{12}=\dfrac{7}{12}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Los puntajes de los exámenes de Josanna hasta la fecha son $90,$ $80,$ $70,$ $60,$ y $85.$ Su objetivo es aumentar su promedio de exámenes en al menos $3$ puntos con su próximo examen. ¿Cuál es el puntaje mínimo que necesitaría en ese examen para lograr este objetivo?

Josanna’s test scores to date are $90,$ $80,$ $70,$ $60,$ and $85.$ Her goal is to raise her test average at least $3$ points with her next test. What is the minimum test score she would need to accomplish this goal?

$80$

$82$

$85$

$90$

$95$

Respuesta: E

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Halla el promedio actual de los cinco puntajes.

Find the current average of the five scores

Pista grande:

Los seis puntajes deben sumar en total $6$ veces el promedio objetivo.

The six scores must total $6$ times the target average

Solución:

Los cinco puntajes suman $90+80+70+60+85=385,$ lo que da un promedio de $77.$ El objetivo es un nuevo promedio de al menos $80.$

Seis exámenes con promedio $80$ deben sumar $6\cdot80=480,$ así que el sexto puntaje debe ser al menos $480-385=95.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The five scores sum to $90+80+70+60+85=385,$ giving an average of $77.$ The goal is a new average of at least $80.$

Six tests averaging $80$ must total $6\cdot80=480,$ so the sixth score must be at least $480-385=95.$

Thus, the correct answer is E.

3.

LeRoy y Bernardo hicieron juntos un viaje de una semana y acordaron compartir los costos por igual. Durante la semana, cada uno pagó varios gastos comunes como gasolina y alquiler del auto. Al final del viaje resultó que LeRoy había pagado $A$ dólares y Bernardo había pagado $B$ dólares, donde $A \lt B.$ ¿Cuántos dólares debe darle LeRoy a Bernardo para que compartan los costos por igual?

LeRoy and Bernardo went on a week-long trip together and agreed to share the costs equally. Over the week, each of them paid for various joint expenses such as gasoline and car rental. At the end of the trip it turned out that LeRoy had paid $A$ dollars and Bernardo had paid $B$ dollars, where $A \lt B.$ How many dollars must LeRoy give to Bernardo so that they share the costs equally?

$\dfrac{A+B}{2}$

$\dfrac{A-B}{2}$

$\dfrac{B-A}{2}$

$B-A$

$A+B$

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Cada persona debería terminar pagando $\dfrac{A+B}{2}$ dólares.

Each person should end up paying $\dfrac{A+B}{2}$

Pista grande:

LeRoy debe cubrir la diferencia entre lo que pagó y su parte justa.

LeRoy must cover the gap between what he paid and his fair share

Solución:

El costo total es $A+B,$ así que la parte justa de cada persona es $\dfrac{A+B}{2}.$

LeRoy pagó $A,$ que es menos que su parte, así que debe darle a Bernardo $\dfrac{A+B}{2}-A=\dfrac{B-A}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total cost is $A+B,$ so each person’s fair share is $\dfrac{A+B}{2}.$

LeRoy paid $A,$ which is less than his share, so he must give Bernardo $\dfrac{A+B}{2}-A=\dfrac{B-A}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

4.

Al multiplicar dos enteros positivos $a$ y $b,$ Ron invirtió las cifras del número de dos dígitos $a.$ Su producto erróneo fue $161.$ ¿Cuál es el valor correcto del producto de $a$ y $b$ ?

In multiplying two positive integers $a$ and $b,$ Ron reversed the digits of the two-digit number $a.$ His erroneous product was $161.$ What is the correct value of the product of $a$ and $b?$

$116$

$161$

$204$

$214$

$224$

Respuesta: E

Conceptos:factorización en primos dígitos

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Descompón $161$ en factores primos.

Factor $161$ into primes

Pista grande:

El $a$ invertido es el factor de dos dígitos; vuelve a invertirlo antes de multiplicar.

The reversed $a$ is the two-digit factor; reverse it back before multiplying

Solución:

Como $161=7\cdot23,$ el único factor de dos dígitos es $23.$ Este debe ser el valor invertido de $a,$ así que el verdadero valor de $a$ es $32,$ y $b=7.$

El producto correcto es $32\cdot7=224.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $161=7\cdot23,$ the only two-digit factor is $23.$ This must be the reversed value of $a,$ so the true value of $a$ is $32,$ and $b=7.$

The correct product is $32\cdot7=224.$

Thus, the correct answer is E.

5.

Sea $N$ el segundo entero positivo más pequeño que es divisible por todo entero positivo menor que $7.$ ¿Cuál es la suma de las cifras de $N$ ?

Let $N$ be the second smallest positive integer that is divisible by every positive integer less than $7.$ What is the sum of the digits of $N?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$9$

Respuesta: A

Conceptos:mínimo común múltiplo dígitos

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Halla el mínimo común múltiplo de $1$ a $6$ .

Find the least common multiple of $1$ through $6$

Pista grande:

Los números válidos son los múltiplos de ese valor; toma el segundo.

The valid numbers are the multiples of that value; take the second one

Solución:

Un número divisible por todo entero de $1$ a $6$ debe ser un múltiplo de $\operatorname{lcm}(1,2,3,4,5,6)=60.$

El segundo múltiplo positivo más pequeño de $60$ es $120,$ cuya suma de cifras es $1+2+0=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A number divisible by every integer from $1$ to $6$ must be a multiple of $\operatorname{lcm}(1,2,3,4,5,6)=60.$

The second smallest positive multiple of $60$ is $120,$ whose digit sum is $1+2+0=3.$

Thus, the correct answer is A.

6.

Desde un punto $A$ se trazan dos tangentes a un círculo. Los puntos de contacto $B$ y $C$ dividen el círculo en dos arcos cuyas longitudes están en la razón $2:3.$ ¿Cuánto mide en grados el ángulo $\angle BAC$ ?

Two tangents to a circle are drawn from a point $A.$ The points of contact $B$ and $C$ divide the circle into arcs with lengths in the ratio $2:3.$ What is the degree measure of $\angle BAC?$

$24$

$30$

$36$

$48$

$60$

Respuesta: C

Conceptos:recta tangente arco persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Los dos arcos dividen $360^\circ$ en la razón $2:3$ .

The two arcs split $360^\circ$ in the ratio $2:3$

Pista grande:

Una tangente forma $90^\circ$ con el radio en su punto de contacto; usa el cuadrilátero $ABOC$ .

A tangent meets the radius at its point of contact at $90^\circ$ ; use quadrilateral $ABOC$

Solución:

Sea $O$ el centro. Los arcos miden $2x$ y $3x$ con $2x+3x=360^\circ,$ así que $x=72^\circ$ y el arco menor $BC$ da el ángulo central $\angle BOC=144^\circ.$

Los radios a $B$ y $C$ son perpendiculares a las tangentes, así que $\angle ABO=\angle ACO=90^\circ.$ En el cuadrilátero $ABOC,$ $\begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the center. The arcs measure $2x$ and $3x$ with $2x+3x=360^\circ,$ so $x=72^\circ$ and the minor arc $BC$ gives central angle $\angle BOC=144^\circ.$

The radii to $B$ and $C$ are perpendicular to the tangents, so $\angle ABO=\angle ACO=90^\circ.$ In quadrilateral $ABOC,$ $\begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

7.

Sean $x$ y $y$ enteros positivos de dos dígitos con media $60.$ ¿Cuál es el valor máximo de la razón $\dfrac{x}{y}$ ?

Let $x$ and $y$ be two-digit positive integers with mean $60.$ What is the maximum value of the ratio $\dfrac{x}{y}?$

$3$

$\dfrac{33}{7}$

$\dfrac{39}{7}$

$9$

$\dfrac{99}{10}$

Respuesta: B

Conceptos:optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

La condición de la media da $x+y=120$ .

The mean condition gives $x+y=120$

Pista grande:

Para maximizar $\dfrac{x}{y},$ haz $x$ tan grande y $y$ tan pequeño como se permita.

To maximize $\dfrac{x}{y},$ make $x$ as large and $y$ as small as allowed

Solución:

Como $\dfrac{x+y}{2}=60,$ tenemos $x+y=120.$ Para maximizar $\dfrac{x}{y}$ hacemos $y$ pequeño.

Como $x\le99,$ se sigue que $y=120-x\ge21.$ Tomando $x=99$ y $y=21$ se obtiene el máximo $\dfrac{99}{21}=\dfrac{33}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $\dfrac{x+y}{2}=60,$ we have $x+y=120.$ To maximize $\dfrac{x}{y}$ we make $y$ small.

Because $x\le99,$ it follows that $y=120-x\ge21.$ Taking $x=99$ and $y=21$ gives the maximum $\dfrac{99}{21}=\dfrac{33}{7}.$

Thus, the correct answer is B.

8.

Keiko camina una vuelta alrededor de una pista exactamente a la misma velocidad constante todos los días. Los lados de la pista son rectos y los extremos son semicírculos. La pista tiene un ancho de $6$ metros, y tarda $36$ segundos más en recorrer el borde exterior de la pista que el borde interior. ¿Cuál es la velocidad de Keiko en metros por segundo?

Keiko walks once around a track at exactly the same constant speed every day. The sides of the track are straight, and the ends are semicircles. The track has width $6$ meters, and it takes her $36$ seconds longer to walk around the outside edge of the track than around the inside edge. What is Keiko’s speed in meters per second?

$\dfrac{\pi}{3}$

$\dfrac{2\pi}{3}$

$\pi$

$\dfrac{4\pi}{3}$

$\dfrac{5\pi}{3}$

Respuesta: A

Conceptos:circunferencia distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Las porciones rectas tienen la misma longitud en ambos bordes, así que solo difieren los extremos curvos.

The straight portions have the same length on both edges, so only the curved ends differ

Pista grande:

Los dos extremos semicirculares forman círculos completos cuyos radios difieren en $6$ .

The two semicircular ends form full circles whose radii differ by $6$

Solución:

Los lados rectos tienen la misma longitud para ambos recorridos, así que la diferencia de longitud proviene solo de los dos extremos semicirculares. Si el radio interior es $r,$ esos extremos se combinan en un círculo completo, y la longitud adicional es $2\pi(r+6)-2\pi r=12\pi.$

Si su velocidad es $x$ metros por segundo, entonces el tiempo adicional da $36x=12\pi,$ así que $x=\dfrac{\pi}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The straight sides are the same length for both paths, so the difference in length comes only from the two semicircular ends. If the inner radius is $r,$ those ends combine into a full circle, and the extra length is $2\pi(r+6)-2\pi r=12\pi.$

If her speed is $x$ meters per second, then the extra time gives $36x=12\pi,$ so $x=\dfrac{\pi}{3}.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Se seleccionan dos números reales de forma independiente y al azar del intervalo $[-20, 10].$ ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de esos números sea mayor que cero?

Two real numbers are selected independently at random from the interval $[-20, 10].$ What is the probability that the product of those numbers is greater than zero?

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad geométrica eventos independientes

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

El producto es positivo exactamente cuando ambos números tienen el mismo signo.

The product is positive exactly when both numbers share the same sign

Pista grande:

Cada número es negativo con probabilidad $\dfrac{20}{30}$ y positivo con probabilidad $\dfrac{10}{30}$ .

Each number is negative with probability $\dfrac{20}{30}$ and positive with probability $\dfrac{10}{30}$

Solución:

El intervalo tiene longitud $30,$ con $20$ de él negativo y $10$ positivo. Así que cada número es positivo con probabilidad $\dfrac13$ y negativo con probabilidad $\dfrac23.$

El producto es positivo cuando ambos son positivos o ambos negativos: $\left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac19+\dfrac49=\dfrac59.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The interval has length $30,$ with $20$ of it negative and $10$ of it positive. So each number is positive with probability $\dfrac13$ and negative with probability $\dfrac23.$

The product is positive when both are positive or both are negative: $\left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac19+\dfrac49=\dfrac59.$

Thus, the correct answer is D.

10.

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=6$ y $BC=3.$ El punto $M$ se elige sobre el lado $AB$ de modo que $\angle AMD=\angle CMD.$ ¿Cuánto mide en grados el ángulo $\angle AMD$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=6$ and $BC=3.$ Point $M$ is chosen on side $AB$ so that $\angle AMD=\angle CMD.$ What is the degree measure of $\angle AMD?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

Respuesta: E

Conceptos:rectas paralelas triángulo isósceles triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Como $AB\parallel CD,$ el ángulo $\angle CDM$ es igual a $\angle AMD$ .

Since $AB\parallel CD,$ the angle $\angle CDM$ equals $\angle AMD$

Pista grande:

Eso hace que $\triangle CMD$ sea isósceles con $CM=CD=6,$ así que $\triangle MBC$ es $30$ - $60$ - $90$ .

That makes $\triangle CMD$ isosceles with $CM=CD=6,$ so $\triangle MBC$ is $30$ - $60$ - $90$

Solución:

Como $AB\parallel CD,$ tenemos $\angle CDM=\angle AMD.$ Combinado con $\angle AMD=\angle CMD,$ esto da $\angle CDM=\angle CMD,$ así que $\triangle CMD$ es isósceles con $CM=CD=6.$

Entonces $\triangle MBC$ tiene un ángulo recto en $B$ con hipotenusa $CM=6$ y cateto $BC=3,$ así que es un triángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ con $\angle BMC=30^\circ.$

Finalmente, $\angle AMD+\angle CMD$ $+\angle BMC=180^\circ,$ así que $2\angle AMD+30^\circ=180^\circ,$ lo que da $\angle AMD=75^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $AB\parallel CD,$ we have $\angle CDM=\angle AMD.$ Combined with $\angle AMD=\angle CMD,$ this gives $\angle CDM=\angle CMD,$ so $\triangle CMD$ is isosceles with $CM=CD=6.$

Then $\triangle MBC$ is right-angled at $B$ with hypotenuse $CM=6$ and leg $BC=3,$ so it is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle with $\angle BMC=30^\circ.$

Finally, $\angle AMD+\angle CMD$ $+\angle BMC=180^\circ,$ so $2\angle AMD+30^\circ=180^\circ,$ giving $\angle AMD=75^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

11.

Una rana ubicada en $(x, y),$ con $x$ y $y$ enteros, hace saltos sucesivos de longitud $5$ y siempre cae en puntos de coordenadas enteras. Supón que la rana parte de $(0, 0)$ y termina en $(1, 0).$ ¿Cuál es el menor número posible de saltos que hace la rana?

A frog located at $(x, y),$ with both $x$ and $y$ integers, makes successive jumps of length $5$ and always lands on points with integer coordinates. Suppose that the frog starts at $(0, 0)$ and ends at $(1, 0).$ What is the smallest possible number of jumps the frog makes?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: B

Conceptos:punto reticular fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Un solo salto es imposible, ya que la distancia es $1,$ no $5$ .

One jump is impossible since the distance is $1,$ not $5$

Pista grande:

El punto medio de dos saltos estaría sobre $x=\tfrac12,$ que no tiene puntos de coordenadas enteras; prueba con tres saltos.

A midpoint of two jumps would lie on $x=\tfrac12,$ which has no lattice points; try three jumps

Solución:

Un salto no funciona, ya que $(0,0)$ y $(1,0)$ distan solo $1$ unidad. Dos saltos también fallan: el punto intermedio estaría a distancia $5$ de ambos, lo que lo obliga a estar sobre la mediatriz $x=\dfrac12,$ que no contiene puntos de coordenadas enteras.

Tres saltos bastan, por ejemplo $(0,0)\to(3,4)\to(6,0)\to(1,0),$ donde cada paso tiene longitud $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

One jump cannot work, since $(0,0)$ and $(1,0)$ are only $1$ apart. Two jumps also fail: the intermediate point would be at distance $5$ from both, forcing it onto the perpendicular bisector $x=\dfrac12,$ which contains no lattice points.

Three jumps suffice, for example $(0,0)\to(3,4)\to(6,0)\to(1,0),$ where each step has length $5.$

Thus, the correct answer is B.

12.

Un tablero de dardos es un octógono regular dividido en regiones como se muestra. Supón que un dardo lanzado al tablero tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto del tablero. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga dentro del cuadrado central?

A dart board is a regular octagon divided into regions as shown. Suppose that a dart thrown at the board is equally likely to land anywhere on the board. What is the probability that the dart lands within the center square?

$\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$2-\sqrt{2}$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad geométrica descomposición de áreas polígono regular

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Fija la arista del octógono en $1$ y divídelo en el cuadrado central, cuatro rectángulos y cuatro triángulos en las esquinas.

Set the octagon’s edge to $1$ and split it into the center square, four rectangles, and four corner triangles

Pista grande:

Los triángulos de las esquinas son rectángulos isósceles con catetos $\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

The corner triangles are right isosceles with legs $\dfrac{\sqrt2}{2}$

Solución:

Supón que el octógono tiene arista de longitud $1.$ Los cuatro triángulos de las esquinas son rectángulos isósceles con catetos $\dfrac{\sqrt2}{2}$ y área $\dfrac14$ cada uno. Los cuatro rectángulos son $1$ por $\dfrac{\sqrt2}{2}$ con área $\dfrac{\sqrt2}{2}$ cada uno, y el cuadrado central tiene área $1.$

El área total es $4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2.$ La probabilidad de acertar en el cuadrado central es $\dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Assume the octagon has edge length $1.$ The four corner triangles are right isosceles with legs $\dfrac{\sqrt2}{2}$ and area $\dfrac14$ each. The four rectangles are $1$ by $\dfrac{\sqrt2}{2}$ with area $\dfrac{\sqrt2}{2}$ each, and the center square has area $1.$

The total area is $4\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+1=2+2\sqrt2.$ The probability of hitting the center square is $\dfrac{1}{2+2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

13.

Brian escribe cuatro enteros $w \gt x \gt y \gt z$ cuya suma es $44.$ Las diferencias positivas por pares de estos números son $1,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ y $9.$ ¿Cuál es la suma de los posibles valores de $w$ ?

Brian writes down four integers $w \gt x \gt y \gt z$ whose sum is $44.$ The pairwise positive differences of these numbers are $1,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ and $9.$ What is the sum of the possible values for $w?$

$16$

$31$

$48$

$62$

$93$

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

La diferencia mayor es $w-z=9,$ y la menor diferencia positiva debe ser $x-y=1$ .

The largest difference is $w-z=9,$ and the smallest positive difference must be $x-y=1$

Pista grande:

La segunda mayor diferencia $6$ es $w-y$ o $x-z$ ; analiza cada caso.

The second largest difference $6$ is either $w-y$ or $x-z$ ; handle each case

Solución:

La diferencia mayor es $w-z=9.$ Para cualquiera de los números interiores $n,$ tenemos $9=(w-n)+(n-z).$ Los únicos pares entre las diferencias dadas que suman $9$ son $3+6$ y $4+5,$ así que la diferencia restante debe ser $x-y=1.$

La segunda diferencia mayor, $6$ , es $w-y$ o $x-z.$ Si $w-y=6,$ los números son $\{w,w-5,w-6,w-9\},$ así que $4w-20=44$ y $w=16.$ Si $x-z=6,$ los números son $\{w,w-3,w-4,w-9\},$ así que $4w-16=44$ y $w=15.$

Los valores posibles son $16$ y $15,$ cuya suma es $31.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The largest difference is $w-z=9.$ For either interior number $n,$ we have $9=(w-n)+(n-z).$ The only pairs among the listed differences that sum to $9$ are $3+6$ and $4+5,$ so the remaining difference must be $x-y=1.$

The second largest difference $6$ is either $w-y$ or $x-z.$ If $w-y=6,$ the numbers are $\{w,w-5,w-6,w-9\},$ so $4w-20=44$ and $w=16.$ If $x-z=6,$ the numbers are $\{w,w-3,w-4,w-9\},$ so $4w-16=44$ and $w=15.$

The possible values are $16$ and $15,$ which sum to $31.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Un segmento que pasa por el foco $F$ de una parábola con vértice $V$ es perpendicular a $\overline{FV}$ e interseca la parábola en los puntos $A$ y $B.$ ¿Cuánto vale $\cos(\angle AVB)$ ?

A segment through the focus $F$ of a parabola with vertex $V$ is perpendicular to $\overline{FV}$ and intersects the parabola in points $A$ and $B.$ What is $\cos(\angle AVB)?$

$-\dfrac{3\sqrt{5}}{7}$

$-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$-\dfrac{4}{5}$

$-\dfrac{3}{5}$

$-\dfrac{1}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:parábola identidad trigonométrica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Sea $p=FV.$ Usa la propiedad foco-directriz para hallar $FB$ y luego $VB$ .

Let $p=FV.$ Use the focus-directrix property to find $FB$ and then $VB$

Pista grande:

Halla $\cos(\angle FVB),$ y luego $\angle AVB=2\angle FVB$ mediante la fórmula del ángulo doble.

Find $\cos(\angle FVB),$ then $\angle AVB=2\angle FVB$ via the double angle formula

Solución:

Sea $p=FV$ y sea la directriz $\ell.$ Proyectando $F$ y $B$ sobre $\ell,$ la propiedad foco-directriz da $FB=2p$ (la distancia de $B$ a $\ell$ ), y por el Teorema de Pitágoras $\begin{aligned} VB&=\sqrt{FV^2+FB^2} \\ &=\sqrt{p^2+4p^2}=\sqrt5\,p. \end{aligned}$

Entonces $\cos(\angle FVB)=\dfrac{FV}{VB}$ $=\dfrac{p}{\sqrt5\,p}$ $=\dfrac{1}{\sqrt5}.$ Como $\angle AVB=2\angle FVB,$ $\begin{aligned} \cos(\angle AVB) &=2\cos^2(\angle FVB) \\ &\quad {}-1 \\ &=2\cdot\dfrac15-1 \\ &=-\dfrac35. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $p=FV$ and let the directrix be $\ell.$ Projecting $F$ and $B$ onto $\ell,$ the focus-directrix property gives $FB=2p$ (the distance from $B$ to $\ell$ ), and by the Pythagorean Theorem $\begin{aligned} VB&=\sqrt{FV^2+FB^2} \\ &=\sqrt{p^2+4p^2}=\sqrt5\,p. \end{aligned}$

Then $\cos(\angle FVB)=\dfrac{FV}{VB}$ $=\dfrac{p}{\sqrt5\,p}$ $=\dfrac{1}{\sqrt5}.$ Since $\angle AVB=2\angle FVB,$ $\begin{aligned} \cos(\angle AVB) &=2\cos^2(\angle FVB) \\ &\quad {}-1 \\ &=2\cdot\dfrac15-1 \\ &=-\dfrac35. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

15.

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos son factores de $2^{24}-1$ ?

How many positive two-digit integers are factors of $2^{24}-1?$

$4$

$8$

$10$

$12$

$14$

Respuesta: D

Conceptos:diferencia de cuadrados factorización en primos factor

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Aplica repetidamente la diferencia de cuadrados para factorizar $2^{24}-1$ .

Repeatedly apply the difference of squares to factor $2^{24}-1$

Pista grande:

La descomposición en factores primos es $3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241;$ enumera los productos de dos dígitos.

The prime factorization is $3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241;$ list two-digit products

Solución:

Factorizando, $\begin{aligned} 2^{24}-1 &=(2^{12}-1)(2^{12}+1) \\ &=(2^6-1)(2^6+1) \\ &\quad {}\cdot(2^4+1)(2^8-2^4+1), \end{aligned}$ lo que es igual a $63\cdot65\cdot17\cdot241$ $=3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241.$

Como $241$ es un primo de tres dígitos, los factores de dos dígitos provienen de $3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17.$ Son $\begin{gathered} 13,15,17,21,35,39,45,51, \\ 63,65,85,91, \end{gathered}$ para un total de $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring, $\begin{aligned} 2^{24}-1 &=(2^{12}-1)(2^{12}+1) \\ &=(2^6-1)(2^6+1) \\ &\quad {}\cdot(2^4+1)(2^8-2^4+1), \end{aligned}$ which equals $63\cdot65\cdot17\cdot241$ $=3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241.$

Since $241$ is a three-digit prime, the two-digit factors come from $3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17.$ They are $\begin{gathered} 13,15,17,21,35,39,45,51, \\ 63,65,85,91, \end{gathered}$ for a total of $12.$

Thus, the correct answer is D.

16.

El rombo $ABCD$ tiene lado $2$ y $\angle B=120^\circ.$ La región $R$ consiste en todos los puntos dentro del rombo que están más cerca del vértice $B$ que de cualquiera de los otros tres vértices. ¿Cuál es el área de $R$ ?

Rhombus $ABCD$ has side length $2$ and $\angle B=120^\circ.$ Region $R$ consists of all points inside the rhombus that are closer to vertex $B$ than any of the other three vertices. What is the area of $R?$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$2$

Respuesta: C

Conceptos:mediatriz rombo área

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

La frontera de $R$ está sobre las mediatrices de los lados que pasan por $B$ .

The boundary of $R$ lies along the perpendicular bisectors of the sides through $B$

Pista grande:

$R$ es un pentágono formado por cuatro triángulos congruentes $30$ - $60$ - $90$ , cada uno con un cateto de longitud $1$ .

$R$ is a pentagon made of four congruent $30$ - $60$ - $90$ triangles, each with a leg of length $1$

Solución:

Sean $E$ y $H$ los puntos medios de $AB$ y $BC.$ La mediatriz de $AB$ que pasa por $E$ corta la diagonal $AC$ en $F,$ y la mediatriz de $BC$ que pasa por $H$ corta $AC$ en $G.$ La región $R$ es el pentágono $BEFGH.$

El triángulo $AFE$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ con $AE=1,$ así que su área es $\dfrac12\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Los triángulos $BFE$ y $BGH$ son congruentes con él, y $\triangle FBG$ es equilátero, y se divide en dos copias más.

Por lo tanto $R$ consiste en cuatro triángulos congruentes, lo que da área $4\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $E$ and $H$ be the midpoints of $AB$ and $BC.$ The perpendicular bisector of $AB$ through $E$ meets diagonal $AC$ at $F,$ and the perpendicular bisector of $BC$ through $H$ meets $AC$ at $G.$ The region $R$ is the pentagon $BEFGH.$

Triangle $AFE$ is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle with $AE=1,$ so its area is $\dfrac12\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Triangles $BFE$ and $BGH$ are congruent to it, and $\triangle FBG$ is equilateral, splitting into two more copies.

Hence $R$ consists of four congruent triangles, giving area $4\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

17.

Sean $f(x)=10^{10x},$ $g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),$ $h_1(x)=g(f(x)),$ y $h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))$ para enteros $n\ge2.$ ¿Cuál es la suma de las cifras de $h_{2011}(1)$ ?

Let $f(x)=10^{10x},$ $g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),$ $h_1(x)=g(f(x)),$ and $h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))$ for integers $n\ge2.$ What is the sum of the digits of $h_{2011}(1)?$

$16{,}081$

$16{,}089$

$18{,}089$

$18{,}098$

$18{,}099$

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo recursión dígitos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Simplifica $h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)$ a una función lineal.

Simplify $h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)$ to a linear function

Pista grande:

Al iterar se obtiene $h_n(1)$ como un número cuyas cifras son todas $8$ y termina en $9$ .

Iterating gives $h_n(1)$ as a number whose digits are all $8$ ’s ending in a $9$

Solución:

Primero, $\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1. \end{aligned}$

Al iterar, $h_n(x)=10^n x$ $-(1+10+\cdots+10^{n-1}).$ Por lo tanto $h_n(1)$ es un entero de $n$ cifras cuya cifra de las unidades es $9$ y todas las demás cifras son $8.$

Para $n=2011,$ la suma de las cifras es $8\cdot2010+9=16{,}089.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

First, $\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1. \end{aligned}$

Iterating, $h_n(x)=10^n x$ $-(1+10+\cdots+10^{n-1}).$ Therefore $h_n(1)$ is an $n$ -digit integer whose units digit is $9$ and all of whose other digits are $8.$

For $n=2011,$ the digit sum is $8\cdot2010+9=16{,}089.$

Thus, the correct answer is B.

18.

Una pirámide tiene una base cuadrada con lados de longitud $1$ y sus caras laterales son triángulos equiláteros. Se coloca un cubo dentro de la pirámide de modo que una cara está sobre la base de la pirámide y su cara opuesta tiene todas sus aristas sobre las caras laterales de la pirámide. ¿Cuál es el volumen de este cubo?

A pyramid has a square base with sides of length $1$ and has lateral faces that are equilateral triangles. A cube is placed within the pyramid so that one face is on the base of the pyramid and its opposite face has all its edges on the lateral faces of the pyramid. What is the volume of this cube?

$5\sqrt{2}-7$

$7-4\sqrt{3}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{27}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{9}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{9}$

Respuesta: A

Conceptos:pirámide geometría del cubo Geometría 3D

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Corta la pirámide con el plano que contiene una diagonal de la base y el ápice.

Slice the pyramid through the plane containing a diagonal of the base and the apex

Pista grande:

Esa sección transversal es un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa $\sqrt2;$ el cubo la interseca en un rectángulo de altura $x$ y ancho $\sqrt2\,x$ .

That cross-section is an isosceles right triangle with hypotenuse $\sqrt2;$ the cube meets it in a rectangle of height $x$ and width $\sqrt2\,x$

Solución:

Sea $A$ el ápice y sea el cuadrado $BCDE$ la base. Entonces $AB=AD=1$ y $BD=\sqrt2,$ así que $\triangle BAD$ es un triángulo rectángulo isósceles.

Sea $x$ la longitud de arista del cubo. Su intersección con el plano de $\triangle BAD$ es un rectángulo de altura $x$ y ancho $\sqrt2\,x,$ cuyas esquinas superiores están sobre $AB$ y $AD.$ Como los catetos $AB$ y $AD$ se encuentran con la base a $45^\circ,$ cada porción de $BD$ fuera del rectángulo tiene longitud $x,$ así que $\sqrt2=BD=\sqrt2\,x+2x,$ lo que se reduce a $x=\dfrac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1.$

El volumen es $(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the apex be $A$ and the base be square $BCDE.$ Then $AB=AD=1$ and $BD=\sqrt2,$ so $\triangle BAD$ is an isosceles right triangle.

Let the cube have edge length $x.$ Its intersection with the plane of $\triangle BAD$ is a rectangle of height $x$ and width $\sqrt2\,x,$ whose top corners lie on $AB$ and $AD.$ Because the legs $AB$ and $AD$ meet the base at $45^\circ,$ each portion of $BD$ outside the rectangle has length $x,$ so $\sqrt2=BD=\sqrt2\,x+2x,$ which reduces to $x=\dfrac{\sqrt2}{2+\sqrt2}=\sqrt2-1.$

The volume is $(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Un punto de red en un sistema de coordenadas $xy$ es cualquier punto $(x, y)$ donde $x$ y $y$ son ambos enteros. La gráfica de $y=mx+2$ no pasa por ningún punto de red con $0 \lt x \le 100$ para todos los $m$ tales que $\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.$ ¿Cuál es el valor máximo posible de $a$ ?

A lattice point in an $xy$ -coordinate system is any point $(x, y)$ where both $x$ and $y$ are integers. The graph of $y=mx+2$ passes through no lattice point with $0 \lt x \le 100$ for all $m$ such that $\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.$ What is the maximum possible value of $a?$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

$\dfrac{51}{100}$

$\dfrac{52}{101}$

$\dfrac{13}{25}$

Respuesta: B

Conceptos:punto reticular pendiente

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Para cada $x,$ halla la menor pendiente $\gt\dfrac12$ desde $(0,2)$ que alcance un punto de red en ese $x$ .

For each $x,$ find the smallest slope $\gt\dfrac12$ from $(0,2)$ that reaches a lattice point at that $x$

Pista grande:

Compara las pendientes mínimas de los casos par $x$ e impar $x;$ gana la cota más ajustada.

Compare the minimum slopes for even $x$ and odd $x;$ the tighter bound wins

Solución:

Para $0\lt x\le100,$ el punto de red más cercano por encima de la recta $y=\tfrac12x+2$ es $\left(x,\tfrac12x+3\right)$ si $x$ es par y $\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)$ si $x$ es impar.

La pendiente desde $(0,2)$ hasta ese punto es $\dfrac12+\dfrac1x$ para $x$ par y $\dfrac12+\dfrac{1}{2x}$ para $x$ impar. La menor pendiente de ese tipo es $\dfrac{51}{100}$ para $x$ par y $\dfrac{50}{99}$ para $x$ impar.

Como $\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100},$ la recta evita todos estos puntos de red exactamente cuando $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99},$ así que el máximo es $a=\dfrac{50}{99}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $0\lt x\le100,$ the nearest lattice point above the line $y=\tfrac12x+2$ is $\left(x,\tfrac12x+3\right)$ if $x$ is even and $\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)$ if $x$ is odd.

The slope from $(0,2)$ to that point is $\dfrac12+\dfrac1x$ for even $x$ and $\dfrac12+\dfrac{1}{2x}$ for odd $x.$ The minimum such slope is $\dfrac{51}{100}$ for even $x$ and $\dfrac{50}{99}$ for odd $x.$

Since $\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100},$ the line avoids all these lattice points exactly when $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99},$ so the maximum is $a=\dfrac{50}{99}.$

Thus, the correct answer is B.

20.

El triángulo $ABC$ tiene $AB=13,$ $BC=14,$ y $AC=15.$ Los puntos $D,$ $E,$ y $F$ son los puntos medios de $AB,$ $BC,$ y $AC$ respectivamente. Sea $X\ne E$ la intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle BDE$ y $\triangle CEF.$ ¿Cuánto vale $XA+XB+XC$ ?

Triangle $ABC$ has $AB=13,$ $BC=14,$ and $AC=15.$ The points $D,$ $E,$ and $F$ are the midpoints of $AB,$ $BC,$ and $AC$ respectively. Let $X\ne E$ be the intersection of the circumcircles of $\triangle BDE$ and $\triangle CEF.$ What is $XA+XB+XC?$

$24$

$14\sqrt{3}$

$\dfrac{195}{8}$

$\dfrac{129\sqrt{7}}{14}$

$\dfrac{69\sqrt{2}}{4}$

Respuesta: C

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio ángulo inscrito Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Usa los segmentos medios paralelos y el Teorema del Ángulo Inscrito para mostrar que $X$ es equidistante de $A,$ $B,$ $C$ .

Use the parallel midsegments and the Inscribed Angle Theorem to show $X$ is equidistant from $A,$ $B,$ $C$

Pista grande:

$X$ es el circuncentro, así que $XA+XB+XC=3R$ donde $R=\dfrac{abc}{4\cdot[ABC]}$ .

$X$ is the circumcenter, so $XA+XB+XC=3R$ where $R=\dfrac{abc}{4\cdot[ABC]}$

Solución:

Como $DE\parallel AC$ y $EF\parallel AB,$ obtenemos $\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC.$ Por el teorema del ángulo inscrito, $\angle BXE=\angle BDE$ y $\angle EXC=\angle EFC,$ de modo que $\angle BXE=\angle EXC.$ Junto con $BE=EC,$ esto obliga a que $XB=XC.$

Además, $\angle BXC=2\angle BAC.$ La fórmula de la cuerda en $\triangle BXC$ da $BC=2XB\sin(\angle BAC),$ mientras que la misma fórmula en $\triangle ABC$ da $BC=2R\sin(\angle BAC).$ Por tanto, $XB=XC=R.$ El punto de este lado de $BC$ que está a distancia $R$ de $B$ y de $C$ es el circuncentro de $\triangle ABC,$ así que $XA=XB=XC=R.$

El área del triángulo $13$ - $14$ - $15$ es $84$ por la fórmula de Herón, por lo que $R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8},$ y $XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $DE\parallel AC$ and $EF\parallel AB,$ we get $\angle BDE=\angle BAC=\angle EFC.$ By the Inscribed Angle Theorem, $\angle BXE=\angle BDE$ and $\angle EXC=\angle EFC,$ so $\angle BXE=\angle EXC.$ With $BE=EC,$ this forces $XB=XC.$

Also $\angle BXC=2\angle BAC.$ The chord formula in $\triangle BXC$ gives $BC=2XB\sin(\angle BAC),$ while the same formula in $\triangle ABC$ gives $BC=2R\sin(\angle BAC).$ Thus $XB=XC=R.$ The point at distance $R$ from both $B$ and $C$ on this side of $BC$ is the circumcenter of $\triangle ABC,$ so $XA=XB=XC=R.$

The area of the $13$ - $14$ - $15$ triangle is $84$ by Heron’s formula, so $R=\dfrac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\dfrac{65}{8},$ and $XA+XB+XC=3R=\dfrac{195}{8}.$

Thus, the correct answer is C.

21.

La media aritmética de dos enteros positivos distintos $x$ y $y$ es un entero de dos dígitos. La media geométrica de $x$ y $y$ se obtiene invirtiendo las cifras de la media aritmética. ¿Cuánto vale $|x-y|$ ?

The arithmetic mean of two distinct positive integers $x$ and $y$ is a two-digit integer. The geometric mean of $x$ and $y$ is obtained by reversing the digits of the arithmetic mean. What is $|x-y|?$

$24$

$48$

$54$

$66$

$70$

Respuesta: D

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto dígitos

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Escribe la media aritmética como $10a+b$ y la media geométrica como $10b+a$ .

Write the arithmetic mean as $10a+b$ and the geometric mean as $10b+a$

Pista grande:

Calcula $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy;$ se factoriza como $396(a+b)(a-b)$ .

Compute $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy;$ it factors as $396(a+b)(a-b)$

Solución:

Sea la media aritmética $10a+b$ y la media geométrica $10b+a.$ Entonces $x+y=2(10a+b)$ y $xy=(10b+a)^2.$

Por tanto, $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$ Como la media aritmética es mayor que la geométrica para números positivos distintos, $a>b.$ Sean $u=a-b$ y $v=a+b.$ Entonces $1\le u\le9$ y $1\le v\le17.$ Para que $11uv$ sea un cuadrado, $uv$ debe contener una potencia impar de $11.$ Por tanto, $v=11,$ pues $u<11$ y $v<22.$ Ahora $11uv=121u$ es un cuadrado, así que $u$ es un cuadrado. Además, $u$ y $v$ tienen la misma paridad, lo que deja $u=1$ o $9.$ La segunda opción da $a=10,$ que no es un dígito; por ello, $u=1$ y $(a,b)=(6,5).$

Entonces $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,$ así que $|x-y|=66.$ (En efecto, $\{x,y\}=\{32,98\}.$ )

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Let the arithmetic mean be $10a+b$ and the geometric mean be $10b+a.$ Then $x+y=2(10a+b)$ and $xy=(10b+a)^2.$

Therefore $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$ Since the arithmetic mean exceeds the geometric mean for distinct positive numbers, $a>b.$ Put $u=a-b$ and $v=a+b.$ Then $1\le u\le9$ and $1\le v\le17.$ For $11uv$ to be a square, $uv$ must contain an odd power of $11.$ Therefore $v=11,$ because $u<11$ and $v<22.$ Now $11uv=121u$ is a square, so $u$ is a square. Also $u$ and $v$ have the same parity, leaving $u=1$ or $9.$ The latter gives $a=10,$ not a digit, so $u=1$ and $(a,b)=(6,5).$

Then $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,$ so $|x-y|=66.$ (Indeed $\{x,y\}=\{32,98\}.$ )

Thus, the correct answer is D.

22.

Sea $T_1$ un triángulo con lados $2011,$ $2012,$ y $2013.$ Para $n\ge1,$ si $T_n=\triangle ABC$ y $D,$ $E,$ y $F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ con los lados $AB,$ $BC,$ y $AC,$ respectivamente, entonces $T_{n+1}$ es un triángulo con lados $AD,$ $BE,$ y $CF,$ si existe. ¿Cuál es el perímetro del último triángulo de la sucesión $(T_n)$ ?

Let $T_1$ be a triangle with sides $2011,$ $2012,$ and $2013.$ For $n\ge1,$ if $T_n=\triangle ABC$ and $D,$ $E,$ and $F$ are the points of tangency of the incircle of $\triangle ABC$ to the sides $AB,$ $BC,$ and $AC,$ respectively, then $T_{n+1}$ is a triangle with side lengths $AD,$ $BE,$ and $CF,$ if it exists. What is the perimeter of the last triangle in the sequence $(T_n)?$

$\dfrac{1509}{8}$

$\dfrac{1509}{32}$

$\dfrac{1509}{64}$

$\dfrac{1509}{128}$

$\dfrac{1509}{256}$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio recursión desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Las longitudes de las tangentes cumplen $AD=\tfrac12(b+c-a),$ y de forma análoga para $BE$ y $CF$ .

The tangent lengths satisfy $AD=\tfrac12(b+c-a),$ and similarly for $BE$ and $CF$

Pista grande:

Cada triángulo conserva la forma $(y-1,y,y+1)$ con $y$ reduciéndose a la mitad; deja de cumplir la desigualdad triangular cuando $y\le2$ .

Each triangle keeps the form $(y-1,y,y+1)$ with $y$ halving; it fails the triangle inequality once $y\le2$

Solución:

Para un triángulo con lados $a,b,c,$ las longitudes de las tangentes son $AD=\tfrac12(b+c-a),$ $BE=\tfrac12(a+c-b),$ y $CF=\tfrac12(a+b-c).$ Si $T_n$ tiene lados $(y-1,y,y+1),$ entonces $T_{n+1}$ tiene lados $\left(\tfrac{y}{2}-1,\tfrac{y}{2},\tfrac{y}{2}+1\right).$

Partiendo de $T_1$ con lado central $2012,$ el lado central se reduce a la mitad en cada paso y el perímetro de $T_{n+1}$ es $\tfrac12$ del perímetro de $T_n.$ Un triángulo de esta forma existe solo mientras su lado central supere $2.$

El lado central de $T_n$ es $\dfrac{2012}{2^{n-1}}.$ Este cae por primera vez a $2$ o menos en $n=11,$ así que el último triángulo válido es $T_{10},$ cuyo lado central es $\dfrac{2012}{2^9}$ y cuyo perímetro es $3\cdot\dfrac{2012}{2^9}=\dfrac{6036}{512}=\dfrac{1509}{128}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a triangle with sides $a,b,c,$ the tangent lengths are $AD=\tfrac12(b+c-a),$ $BE=\tfrac12(a+c-b),$ and $CF=\tfrac12(a+b-c).$ If $T_n$ has sides $(y-1,y,y+1),$ then $T_{n+1}$ has sides $\left(\tfrac{y}{2}-1,\tfrac{y}{2},\tfrac{y}{2}+1\right).$

Starting from $T_1$ with middle side $2012,$ the middle side halves each step and the perimeter of $T_{n+1}$ is $\tfrac12$ the perimeter of $T_n.$ A triangle of this form exists only while its middle side exceeds $2.$

The middle side of $T_n$ is $\dfrac{2012}{2^{n-1}}.$ This first drops to $2$ or below at $n=11,$ so the last valid triangle is $T_{10},$ whose middle side is $\dfrac{2012}{2^9}$ and whose perimeter is $3\cdot\dfrac{2012}{2^9}=\dfrac{6036}{512}=\dfrac{1509}{128}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Un insecto se desplaza por el plano de coordenadas, moviéndose solo a lo largo de las rectas paralelas al eje $x$ o al eje $y$ . Sean $A=(-3, 2)$ y $B=(3, -2).$ Considera todos los posibles recorridos del insecto de $A$ a $B$ de longitud a lo sumo $20.$ ¿Cuántos puntos de coordenadas enteras están en al menos uno de estos recorridos?

A bug travels in the coordinate plane, moving only along the lines that are parallel to the $x$ -axis or $y$ -axis. Let $A=(-3, 2)$ and $B=(3, -2).$ Consider all possible paths of the bug from $A$ to $B$ of length at most $20.$ How many points with integer coordinates lie on at least one of these paths?

$161$

$185$

$195$

$227$

$255$

Respuesta: C

Conceptos:punto reticular análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Un punto $X$ está en uno de esos recorridos si y solo si sus distancias taxicab cumplen $d(A,X)+d(X,B)\le20$ .

A point $X$ lies on such a path iff its taxicab distances satisfy $d(A,X)+d(X,B)\le20$

Pista grande:

Esto es $|x-3|+|x+3|$ $+|y-2|+|y+2|\le20;$ cuenta usando la simetría respecto a los ejes.

This is $|x-3|+|x+3|$ $+|y-2|+|y+2|\le20;$ count by symmetry across the axes

Solución:

Un punto de red $X=(x,y)$ está en algún recorrido exactamente cuando $\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}$ Esta expresión no cambia cuando $x\to-x$ o $y\to-y,$ así que contamos los puntos con $x\ge0,$ $y\ge0,$ multiplicamos por $4,$ y corregimos por los ejes.

Si $0\le x\le3$ y $0\le y\le2,$ sirven los $4\cdot3=12$ puntos. Si $0\le x\le3$ y $y\ge3,$ entonces $y\le7,$ lo que da $4\cdot5=20$ puntos. Si $x\ge4$ y $0\le y\le2,$ entonces $x\le8,$ lo que da $5\cdot3=15$ puntos. Por último, para $x\ge4$ y $y\ge3,$ la condición es $x+y\le10,$ lo que da $4+3+2+1=10$ puntos. Así, hay $57$ puntos en el primer cuadrante, incluidos $15$ sobre los ejes no negativos. Por simetría, el total es $4\cdot57-2\cdot15-3=195.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A lattice point $X=(x,y)$ lies on some path exactly when $\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}$ This expression is unchanged when $x\to-x$ or $y\to-y,$ so we count points with $x\ge0,$ $y\ge0,$ multiply by $4,$ and correct for the axes.

If $0\le x\le3$ and $0\le y\le2,$ all $4\cdot3=12$ points work. If $0\le x\le3$ and $y\ge3,$ then $y\le7,$ giving $4\cdot5=20$ points. If $x\ge4$ and $0\le y\le2,$ then $x\le8,$ giving $5\cdot3=15$ points. Finally, for $x\ge4$ and $y\ge3,$ the condition is $x+y\le10,$ giving $4+3+2+1=10$ points. Thus there are $57$ in the first quadrant, including $15$ on the nonnegative axes. By symmetry the total is $4\cdot57-2\cdot15-3=195.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Sea $P(z)=z^8+(4\sqrt{3}+6)z^4$ $-(4\sqrt{3}+7).$ ¿Cuál es el perímetro mínimo entre todos los polígonos de $8$ lados en el plano complejo cuyos vértices son exactamente los ceros de $P(z)$ ?

Let $P(z)=z^8+(4\sqrt{3}+6)z^4$ $-(4\sqrt{3}+7).$ What is the minimum perimeter among all the $8$ -sided polygons in the complex plane whose vertices are precisely the zeros of $P(z)?$

$4\sqrt{3}+4$

$8\sqrt{2}$

$3\sqrt{2}+3\sqrt{6}$

$4\sqrt{2}+4\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}+6$

Respuesta: B

Conceptos:número complejo raíces de la unidad factorización

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Trata $P$ como una ecuación cuadrática en $z^4$ y factoriza como $(z^4-1)\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big)$ .

Treat $P$ as a quadratic in $z^4$ and factor as $(z^4-1)\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big)$

Pista grande:

Como $4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2,$ las ocho raíces están sobre dos cuadrados; las aristas más cortas tienen longitud $\sqrt2$ .

Since $4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2,$ the eight roots lie on two squares; the shortest edges have length $\sqrt2$

Solución:

Factorizando en $z^4,$ $\begin{aligned} P(z) &=(z^4-1) \\ &\quad {}\cdot\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big). \end{aligned}$ El primer factor da las raíces $1,-1,i,-i.$ Como $4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2$ y $2(\sqrt3+2)=(\sqrt3+1)^2,$ escribiendo $w=\tfrac12(\sqrt3+1)$ las otras cuatro raíces son $w(\pm1\pm i).$

Las ocho raíces son simétricas respecto al origen con simetría de orden $4$ , y todo segmento que une dos de ellas tiene longitud al menos $\sqrt2.$ Por lo tanto cualquier polígono de este tipo tiene perímetro al menos $8\sqrt2,$ y el polígono con vértices $1,$ $w(1+i),$ $i,$ $w(-1+i),$ $-1,$ $w(-1-i),$ $-i,$ $w(1-i)$ lo alcanza.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring in $z^4,$ $\begin{aligned} P(z) &=(z^4-1) \\ &\quad {}\cdot\big(z^4+(4\sqrt3+7)\big). \end{aligned}$ The first factor gives the roots $1,-1,i,-i.$ Since $4\sqrt3+7=(\sqrt3+2)^2$ and $2(\sqrt3+2)=(\sqrt3+1)^2,$ writing $w=\tfrac12(\sqrt3+1)$ the other four roots are $w(\pm1\pm i).$

The eight roots are symmetric about the origin with $4$ -fold symmetry, and every segment joining two of them has length at least $\sqrt2.$ Thus any such polygon has perimeter at least $8\sqrt2,$ and the polygon with vertices $1,$ $w(1+i),$ $i,$ $w(-1+i),$ $-1,$ $w(-1-i),$ $-i,$ $w(1-i)$ achieves it.

Thus, the correct answer is B.

25.

Para todo par de enteros $m$ y $k$ con $k$ impar, denota por $\left[\dfrac{m}{k}\right]$ el entero más cercano a $\dfrac{m}{k}.$ Para cada entero impar $k,$ sea $P(k)$ la probabilidad de que $\left[\dfrac{n}{k}\right]+\left[\dfrac{100-n}{k}\right]=\left[\dfrac{100}{k}\right]$ para un entero $n$ elegido al azar del intervalo $1\le n\le99!.$ ¿Cuál es el valor mínimo posible de $P(k)$ sobre los enteros impares $k$ del intervalo $1\le k\le99$ ?

For every $m$ and $k$ integers with $k$ odd, denote by $\left[\dfrac{m}{k}\right]$ the integer closest to $\dfrac{m}{k}.$ For every odd integer $k,$ let $P(k)$ be the probability that $\left[\dfrac{n}{k}\right]+\left[\dfrac{100-n}{k}\right]=\left[\dfrac{100}{k}\right]$ for an integer $n$ randomly chosen from the interval $1\le n\le99!.$ What is the minimum possible value of $P(k)$ over the odd integers $k$ in the interval $1\le k\le99?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{50}{99}$

$\dfrac{44}{87}$

$\dfrac{34}{67}$

$\dfrac{7}{13}$

Respuesta: D

Conceptos:aritmética modular funciones piso y techo probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Que $n$ funcione depende solo de $n\bmod k,$ y cada clase de residuos es igualmente probable.

Whether $n$ works depends only on $n\bmod k,$ and each residue class is equally likely

Pista grande:

Escribe $100=qk+r$ con $|r|\le\tfrac{k-1}{2};$ entonces $P(k)=1-\dfrac{|r|}{k}$ .

Write $100=qk+r$ with $|r|\le\tfrac{k-1}{2};$ then $P(k)=1-\dfrac{|r|}{k}$

Solución:

Como $\left[\dfrac{n+mk}{k}\right]=\left[\dfrac{n}{k}\right]+m,$ que $n$ satisfaga la identidad depende solo de $n\bmod k.$ Como $99!$ es divisible por $k$ para $1\le k\le99,$ toda clase de residuos es igualmente probable.

Escribe $100=qk+r$ y $n=q_1k+r_1,$ eligiendo ambos restos en $[-\frac{(k-1)}{2},\frac{k-1}{2}].$ Si $r\ge0,$ no hay acarreo precisamente cuando $r-\frac{k-1}{2}\le r_1\le\frac{k-1}{2};$ esto da $k-r$ clases de residuos. El caso $r<0$ da de manera análoga $k+r$ clases. Por lo tanto, en ambos casos $P(k)=1-\dfrac{|r|}{k}.$

Para minimizar $P(k)$ maximizamos $|r|/k.$ Si $r=\frac{k-1}{2},$ entonces $201=k(2q+1),$ y el mayor $k\le99$ posible es el divisor $67$ de $201.$ Si $r=-\frac{(k-1)}{2},$ entonces $199=k(2q-1);$ como $199$ es primo, solo $k=1$ es posible. En todos los demás casos $|r|\le\frac{k-3}{2},$ así que $\begin{aligned} P(k)&\ge\dfrac12+\dfrac{3}{2k} \\ &\ge\dfrac12+\dfrac{3}{198} \\ &>\dfrac{34}{67}. \end{aligned}$ Para $k=67,$ $P(67)=\dfrac12+\dfrac{1}{2\cdot67}=\dfrac{34}{67}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $\left[\dfrac{n+mk}{k}\right]=\left[\dfrac{n}{k}\right]+m,$ whether $n$ satisfies the identity depends only on $n\bmod k.$ Since $99!$ is divisible by $k$ for $1\le k\le99,$ every residue class is equally likely.

Write $100=qk+r$ and $n=q_1k+r_1,$ choosing both remainders in $[-\frac{(k-1)}{2},\frac{k-1}{2}].$ If $r\ge0,$ no carry occurs precisely when $r-\frac{k-1}{2}\le r_1\le\frac{k-1}{2};$ this gives $k-r$ residue classes. The case $r<0$ similarly gives $k+r$ classes. Hence in both cases $P(k)=1-\dfrac{|r|}{k}.$

To minimize $P(k)$ we maximize $|r|/k.$ If $r=\frac{k-1}{2},$ then $201=k(2q+1),$ and the largest possible $k\le99$ is the divisor $67$ of $201.$ If $r=-\frac{(k-1)}{2},$ then $199=k(2q-1);$ because $199$ is prime, only $k=1$ is possible. In every remaining case $|r|\le\frac{k-3}{2},$ so $\begin{aligned} P(k)&\ge\dfrac12+\dfrac{3}{2k} \\ &\ge\dfrac12+\dfrac{3}{198} \\ &>\dfrac{34}{67}. \end{aligned}$ For $k=67,$ $P(67)=\dfrac12+\dfrac{1}{2\cdot67}=\dfrac{34}{67}.$

Thus, the correct answer is D.

Problemas del 2011 AMC 12B

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande: