Question

Un punto de red en un sistema de coordenadas $xy$ es cualquier punto $(x, y)$ donde $x$ y $y$ son ambos enteros. La gráfica de $y=mx+2$ no pasa por ningún punto de red con $0 \lt x \le 100$ para todos los $m$ tales que $\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.$ ¿Cuál es el valor máximo posible de $a$ ?

A lattice point in an $xy$ -coordinate system is any point $(x, y)$ where both $x$ and $y$ are integers. The graph of $y=mx+2$ passes through no lattice point with $0 \lt x \le 100$ for all $m$ such that $\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.$ What is the maximum possible value of $a?$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

$\dfrac{51}{100}$

$\dfrac{52}{101}$

$\dfrac{13}{25}$

Respuesta: B

Conceptos:punto reticular pendiente

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Para cada $x,$ halla la menor pendiente $\gt\dfrac12$ desde $(0,2)$ que alcance un punto de red en ese $x$ .

For each $x,$ find the smallest slope $\gt\dfrac12$ from $(0,2)$ that reaches a lattice point at that $x$

Pista grande:

Compara las pendientes mínimas de los casos par $x$ e impar $x;$ gana la cota más ajustada.

Compare the minimum slopes for even $x$ and odd $x;$ the tighter bound wins

Solución:

Para $0\lt x\le100,$ el punto de red más cercano por encima de la recta $y=\tfrac12x+2$ es $\left(x,\tfrac12x+3\right)$ si $x$ es par y $\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)$ si $x$ es impar.

La pendiente desde $(0,2)$ hasta ese punto es $\dfrac12+\dfrac1x$ para $x$ par y $\dfrac12+\dfrac{1}{2x}$ para $x$ impar. La menor pendiente de ese tipo es $\dfrac{51}{100}$ para $x$ par y $\dfrac{50}{99}$ para $x$ impar.

Como $\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100},$ la recta evita todos estos puntos de red exactamente cuando $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99},$ así que el máximo es $a=\dfrac{50}{99}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $0\lt x\le100,$ the nearest lattice point above the line $y=\tfrac12x+2$ is $\left(x,\tfrac12x+3\right)$ if $x$ is even and $\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)$ if $x$ is odd.

The slope from $(0,2)$ to that point is $\dfrac12+\dfrac1x$ for even $x$ and $\dfrac12+\dfrac{1}{2x}$ for odd $x.$ The minimum such slope is $\dfrac{51}{100}$ for even $x$ and $\dfrac{50}{99}$ for odd $x.$

Since $\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100},$ the line avoids all these lattice points exactly when $\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99},$ so the maximum is $a=\dfrac{50}{99}.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B Problema 19

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años