Question

Una parábola con ecuación $y = ax^2 + bx + c$ se refleja respecto al eje $x$ . La parábola y su reflexión se trasladan horizontalmente cinco unidades en direcciones opuestas para convertirse en las gráficas de $y = f(x)$ y $y = g(x),$ respectivamente. ¿Cuál de las siguientes opciones describe la gráfica de $y = (f + g)(x)$ ?

A parabola with equation $y = ax^2 + bx + c$ is reflected about the $x$ -axis. The parabola and its reflection are translated horizontally five units in opposite directions to become the graphs of $y = f(x)$ and $y = g(x),$ respectively. Which of the following describes the graph of $y = (f + g)(x)?$

una parábola tangente al eje $x$

a parabola tangent to the $x$ -axis

una parábola no tangente al eje $x$

a parabola not tangent to the $x$ -axis

una recta horizontal

a horizontal line

una recta no horizontal

a non-horizontal line

la gráfica de una función cúbica

the graph of a cubic function

Respuesta: D

Conceptos:parábola transformación función

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Escribe la parábola como $a(x-h)^2+k;$ su reflexión es $-a(x-h)^2-k$ .

Write the parabola as $a(x-h)^2+k;$ its reflection is $-a(x-h)^2-k$

Pista grande:

Tras los desplazamientos opuestos $\pm5$ , suma $f$ y $g$ y observa cómo se cancelan los términos cuadráticos.

After the opposite $\pm5$ shifts, add $f$ and $g$ and watch the squared terms cancel

Solución:

Escribe la parábola en forma de vértice $y=a(x-h)^2+k.$ Su reflexión respecto al eje $x$ es $y=-a(x-h)^2-k.$

Al desplazar en direcciones opuestas se obtiene $f(x)=a(x-h+5)^2+k$ y $g(x)=-a(x-h-5)^2-k.$

Al sumar, los términos cuadráticos se cancelan y $(f+g)(x)=20a(x-h),$ que es una recta no horizontal ya que $a\neq0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write the parabola in vertex form $y=a(x-h)^2+k.$ Its reflection about the $x$ -axis is $y=-a(x-h)^2-k.$

Shifting in opposite directions gives $f(x)=a(x-h+5)^2+k$ and $g(x)=-a(x-h-5)^2-k.$

Adding, the squared terms cancel and $(f+g)(x)=20a(x-h),$ which is a non-horizontal line since $a\neq0.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12A Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años