Question

Un partido de baloncesto de secundaria entre los Raiders y los Wildcats estaba empatado al final del primer cuarto. El número de puntos anotados por los Raiders en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión geométrica creciente, y el número de puntos anotados por los Wildcats en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión aritmética creciente. Al final del cuarto período, los Raiders habían ganado por un punto. Ninguno de los dos equipos anotó más de $100$ puntos. ¿Cuál fue el número total de puntos anotados por los dos equipos en la primera mitad?

A high school basketball game between the Raiders and the Wildcats was tied at the end of the first quarter. The number of points scored by the Raiders in each of the four quarters formed an increasing geometric sequence, and the number of points scored by the Wildcats in each of the four quarters formed an increasing arithmetic sequence. At the end of the fourth quarter, the Raiders had won by one point. Neither team scored more than $100$ points. What was the total number of points scored by the two teams in the first half?

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

Solución:

Sea el puntaje de los Raiders $a, ar, ar^2, ar^3$ (geométrica creciente, $r\gt1$ ) y el de los Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (aritmética creciente), empatados en el primer cuarto en $a.$

El puntaje de cada cuarto es un entero positivo y cada total es menor que $100,$ así que la razón y el primer término son pequeños. Probando $r=2$ da a los Raiders $5, 10, 20, 40$ con total $75.$

Los Wildcats entonces suman $74=4a+6d=20+6d,$ así que $d=9,$ dando $5, 14, 23, 32.$ Los Raiders ganaron $75$ a $74.$

El total de la primera mitad es $(5+10)+(5+14)=34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the Raiders score $a, ar, ar^2, ar^3$ (increasing geometric, $r\gt1$ ) and the Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (increasing arithmetic), tied in the first quarter at $a.$

Every quarter score is a positive integer and each total is under $100,$ so the ratio and first term are small. Testing $r=2$ gives Raiders $5, 10, 20, 40$ with total $75.$

The Wildcats then total $74=4a+6d=20+6d,$ so $d=9,$ giving $5, 14, 23, 32.$ The Raiders won $75$ to $74.$

The first-half total is $(5+10)+(5+14)=34.$

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años