Question

Un partido de baloncesto de secundaria entre los Raiders y los Wildcats estaba empatado al final del primer cuarto. El número de puntos anotados por los Raiders en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión geométrica creciente, y el número de puntos anotados por los Wildcats en cada uno de los cuatro cuartos formó una sucesión aritmética creciente. Al final del cuarto período, los Raiders habían ganado por un punto. Ninguno de los dos equipos anotó más de $100$ puntos. ¿Cuál fue el número total de puntos anotados por los dos equipos en la primera mitad?

A high school basketball game between the Raiders and the Wildcats was tied at the end of the first quarter. The number of points scored by the Raiders in each of the four quarters formed an increasing geometric sequence, and the number of points scored by the Wildcats in each of the four quarters formed an increasing arithmetic sequence. At the end of the fourth quarter, the Raiders had won by one point. Neither team scored more than $100$ points. What was the total number of points scored by the two teams in the first half?

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Sea el puntaje de los Raiders $a, ar, ar^2, ar^3$ y el de los Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d,$ empatados en $a$

Let the Raiders score $a, ar, ar^2, ar^3$ and the Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d,$ tied at $a$

Pista grande:

Los totales difieren en $1$ y ambos se mantienen por debajo de $100,$ lo que fuerza valores pequeños

The totals differ by $1$ and both stay under $100,$ which forces small values

Solución:

Sean los puntajes de los Raiders $a, ar, ar^2, ar^3$ (una progresión geométrica creciente, $r\gt1$ ) y los de los Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (una progresión aritmética creciente), con empate en el primer cuarto en $a.$

Escribamos $r=\frac{m}{n}$ en términos mínimos, con $m\gt n.$ Como $ar^3$ es entero, $a$ es divisible por $n^3;$ sea $a=A n^3.$ El total de los Raiders es $R=A(n^3+mn^2+m^2n+m^3).$ Como $m^3\lt R\le100,$ tenemos $m\le4.$ El par $(4,3)$ ya hace que la suma entre paréntesis sea $175,$ así que los únicos pares coprimos posibles $(m,n)$ son $(2,1),(3,1),(3,2),(4,1).$

Los valores correspondientes de $\frac{R}{A}$ son $15,40,65,85.$ Para $(4,1)$ y $(3,2),$ la cota obliga a que $A=1,$ pero $R-1=4a+6d$ da un valor no entero de $d.$ Para $(3,1),$ se obtendría $36A-1=6d,$ lo cual es imposible módulo $6.$

Para $(m,n)=(2,1),$ tenemos $R=15A$ y $a=A,$ de modo que $11A-1=6d.$ Por tanto, $A\equiv5\pmod6,$ y $R\le100$ obliga a $A=5.$ Entonces $d=9,$ con puntajes de los Raiders $5,10,20,40$ y de los Wildcats $5,14,23,32.$ Los Raiders ganan $75$ a $74.$

El total de la primera mitad es $(5+10)+(5+14)=34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the Raiders score $a, ar, ar^2, ar^3$ (increasing geometric, $r\gt1$ ) and the Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (increasing arithmetic), tied in the first quarter at $a.$

Write $r=\frac{m}{n}$ in lowest terms, with $m\gt n.$ Since $ar^3$ is an integer, $a$ is divisible by $n^3;$ put $a=A n^3.$ The Raiders’ total is $R=A(n^3+mn^2+m^2n+m^3).$ Since $m^3\lt R\le100,$ we have $m\le4.$ The pair $(4,3)$ already makes the parenthesized sum $175,$ so the only possible coprime pairs $(m,n)$ are $(2,1),(3,1),(3,2),(4,1).$

The corresponding base values of $\frac{R}{A}$ are $15,40,65,85.$ For $(4,1)$ and $(3,2),$ the bound forces $A=1,$ but $R-1=4a+6d$ gives a nonintegral $d.$ For $(3,1),$ it would give $36A-1=6d,$ which is impossible modulo $6.$

For $(m,n)=(2,1),$ we have $R=15A$ and $a=A,$ so $11A-1=6d.$ Thus $A\equiv5\pmod6,$ and $R\le100$ forces $A=5.$ Then $d=9,$ giving Raiders scores $5,10,20,40$ and Wildcats scores $5,14,23,32.$ The Raiders win $75$ to $74.$

The first-half total is $(5+10)+(5+14)=34.$

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años