Question

En el desarrollo de $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}$ ¿cuál es el coeficiente de $x^{28}$ ?

In the expansion of $\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}$ what is the coefficient of $x^{28}?$

$195$

$196$

$224$

$378$

$405$

Respuesta: C

Conceptos:funciones generatrices particiones y composiciones

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Un término tiene la forma $x^{a+b+c}$ con $0 \le a \le 27$ y $0 \le b, c \le 14$ .

A term has the form $x^{a+b+c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14$

Pista grande:

Para cada uno de los $15^2$ pares $(b, c),$ hay un único valor válido $a,$ excepto cuando $b = c = 0$ .

For each of the $15^2$ pairs $(b, c),$ there is a unique valid $a,$ except when $b = c = 0$

Solución:

Cada término es $x^{a + b + c}$ con $0 \le a \le 27$ y $0 \le b, c \le 14.$ Para obtener $x^{28}$ necesitamos $a = 28 - b - c.$

Hay $(14 + 1)^2 = 225$ opciones para $(b, c).$ Para cada opción salvo $(b, c) = (0, 0),$ el valor requerido $a = 28 - b - c$ está en $[0, 27],$ dando un término válido.

El coeficiente de $x^{28}$ es por lo tanto $225 - 1 = 224.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Each term is $x^{a + b + c}$ with $0 \le a \le 27$ and $0 \le b, c \le 14.$ To get $x^{28}$ we need $a = 28 - b - c.$

There are $(14 + 1)^2 = 225$ choices for $(b, c).$ For every choice except $(b, c) = (0, 0),$ the required $a = 28 - b - c$ lies in $[0, 27],$ giving a valid term.

The coefficient of $x^{28}$ is therefore $225 - 1 = 224.$

Thus, C is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años