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2000 AMC 12 Problema 19

Intenta el Problema 19 del 2000 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2000 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

19.

En el triángulo ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, y AC=15.AC = 15. Sea DD el punto medio de BC‾\overline{BC} y sea EE la intersección de BC‾\overline{BC} con la bisectriz del ángulo BAC.BAC. ¿Cuál de los siguientes está más cerca del área del triángulo ADEADE?
In triangle ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=14,BC = 14, and AC=15.AC = 15. Let DD denote the midpoint of BC‾\overline{BC} and let EE denote the intersection of BC‾\overline{BC} with the bisector of angle BAC.BAC. Which of the following is closest to the area of triangle ADE?ADE?
22
2.52.5
33
3.53.5
44
Respuesta: C
Conceptos:Fórmula de Herónteorema de la bisectrizárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1810
Pista pequeña:
Por la fórmula de Herón, el área de △ABC\triangle ABC es 84,84, así que la altura desde AA hasta BCBC es 1212.
By Heron’s formula the area of △ABC\triangle ABC is 84,84, so the altitude from AA to BCBC is 1212
Pista grande:
DD está a distancia 77 de BB; el pie de la bisectriz EE satisface BE:EC=13:15BE : EC = 13 : 15.
DD is at distance 77 from BB; the bisector foot EE satisfies BE:EC=13:15BE : EC = 13 : 15
Solución:
Por la fórmula de Herón, el área de △ABC\triangle ABC es 21⋅8⋅7⋅6=84,\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84, así que la altura desde AA hasta BCBC es 2⋅8414=12.\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.
El punto medio DD está a 77 de B.B. La bisectriz desde AA corta a BCBC en EE con BE:EC=AB:AC=13:15,BE : EC = AB : AC = 13 : 15, así que BE=14⋅1328=6.5.BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.
Tanto DD como EE están sobre BC,BC, así que △ADE\triangle ADE tiene base DE=7−6.5=0.5DE = 7 - 6.5 = 0.5 y altura 12,12, dando un área de 12⋅0.5⋅12=3. \tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
By Heron’s formula, the area of △ABC\triangle ABC is 21⋅8⋅7⋅6=84,\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84, so the altitude from AA to BCBC is 2⋅8414=12.\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.
The midpoint DD is 77 from B.B. The bisector from AA meets BCBC at EE with BE:EC=AB:AC=13:15,BE : EC = AB : AC = 13 : 15, so BE=14⋅1328=6.5.BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.
Both DD and EE lie on BC,BC, so △ADE\triangle ADE has base DE=7−6.5=0.5DE = 7 - 6.5 = 0.5 and altitude 12,12, giving area 12⋅0.5⋅12=3. \tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.
Thus, the correct answer is C.
Problema 18#18
Examen completo
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