Question

En el triángulo $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $AC = 15.$ Sea $D$ el punto medio de $\overline{BC}$ y sea $E$ la intersección de $\overline{BC}$ con la bisectriz del ángulo $BAC.$ ¿Cuál de los siguientes está más cerca del área del triángulo $ADE$ ?

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $AC = 15.$ Let $D$ denote the midpoint of $\overline{BC}$ and let $E$ denote the intersection of $\overline{BC}$ with the bisector of angle $BAC.$ Which of the following is closest to the area of triangle $ADE?$

$2$

$2.5$

$3$

$3.5$

$4$

Solución:

Por la fórmula de Herón, el área de $\triangle ABC$ es $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ así que la altura desde $A$ hasta $BC$ es $\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12$ .

El punto medio $D$ está a $7$ de $B.$ La bisectriz desde $A$ corta a $BC$ en $E$ con $BE : EC = AB : AC = 13 : 15,$ así que $BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5$ .

Tanto $D$ como $E$ están sobre $BC,$ así que $\triangle ADE$ tiene base $DE = 7 - 6.5 = 0.5$ y altura $12,$ dando un área de $\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By Heron's formula, the area of $\triangle ABC$ is $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so the altitude from $A$ to $BC$ is $\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

The midpoint $D$ is $7$ from $B.$ The bisector from $A$ meets $BC$ at $E$ with $BE : EC = AB : AC = 13 : 15,$ so $BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.$

Both $D$ and $E$ lie on $BC,$ so $\triangle ADE$ has base $DE = 7 - 6.5 = 0.5$ and altitude $12,$ giving area $\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 12 Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años