Soluciones del 2000 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En el año 2001, Estados Unidos será sede de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Sean $I$ , $M$ y $O$ enteros positivos distintos tales que el producto $I \cdot M \cdot O = 2001$ . ¿Cuál es el mayor valor posible de la suma $I + M + O$ ?

In the year 2001, the United States will host the International Mathematical Olympiad. Let $I,$ $M,$ and $O$ be distinct positive integers such that the product $I \cdot M \cdot O = 2001.$ What is the largest possible value of the sum $I + M + O?$

$23$

$55$

$99$

$111$

$671$

Conceptos:factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

La factorización da $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29$ .

Para maximizar la suma de tres enteros positivos distintos con este producto, tomamos $I = 1$ , $M = 3$ y $O = 23 \cdot 29 = 667$ .

La mayor suma es $1 + 3 + 667 = 671$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring gives $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

To maximize the sum of three distinct positive integers with this product, take $I = 1,$ $M = 3,$ and $O = 23 \cdot 29 = 667.$

The largest sum is $1 + 3 + 667 = 671.$

Thus, the correct answer is E.

2.

¿Cuánto vale $2000(2000^{2000})$ ?

What is $2000(2000^{2000})?$

$2000^{2001}$

$4000^{2000}$

$2000^{4000}$

$4{,}000{,}000^{2000}$

$2000^{4{,}000{,}000}$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 950

Solución:

Al escribir $2000 = 2000^1$ , obtenemos $\begin{gathered} 2000^1 \cdot 2000^{2000} \\ = 2000^{1 + 2000} \\ = 2000^{2001}. \end{gathered}$

Todas las demás opciones son mayores que este valor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Writing $2000 = 2000^1,$ we get $\begin{gathered} 2000^1 \cdot 2000^{2000} \\ = 2000^{1 + 2000} \\ = 2000^{2001}. \end{gathered}$

All of the other options are larger than this.

Thus, the correct answer is A.

3.

Cada día, Jenny comía el $20\%$ de las gomitas que había en su frasco al comienzo de ese día. Al final del segundo día quedaban $32$ . ¿Cuántas gomitas había originalmente en el frasco?

Each day, Jenny ate $20\%$ of the jellybeans that were in her jar at the beginning of that day. At the end of the second day, $32$ remained. How many jellybeans were in the jar originally?

$40$

$50$

$55$

$60$

$75$

Conceptos:porcentaje trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1080

Solución:

Como cada día se come el $20\%$ , al final de cada día queda el $80\%$ . Si $x$ es la cantidad original, entonces $(0.8)^2 x = 32.$

Al resolver obtenemos $0.64x = 32$ , de modo que $x = 50$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $20\%$ is eaten each day, $80\%$ remains at the end of each day. If $x$ is the original number, then $(0.8)^2 x = 32.$

Solving gives $0.64x = 32,$ so $x = 50.$

Thus, the correct answer is B.

4.

La sucesión de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ comienza con dos $1$ , y cada término posterior es la suma de sus dos predecesores. ¿Cuál de los diez dígitos es el último en aparecer en la posición de las unidades de un número de la sucesión de Fibonacci?

The Fibonacci sequence $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ starts with two $1$ s, and each term afterwards is the sum of its two predecessors. Which one of the ten digits is the last to appear in the units position of a number in the Fibonacci sequence?

$0$

$4$

$6$

$7$

$9$

Conceptos:Fibonacci dígito de las unidades enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

La sucesión de los dígitos de las unidades comienza $\begin{gathered} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, \\ 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, \ldots \end{gathered}$

Al recorrer esta lista, el dígito $6$ es el último de los diez dígitos en aparecer.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sequence of units digits begins $\begin{gathered} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, \\ 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, \ldots \end{gathered}$

Scanning this list, the digit $6$ is the last of the ten digits to appear.

Thus, the correct answer is C.

5.

Si $|x - 2| = p$ , donde $x \lt 2$ , ¿cuánto vale $x - p$ ?

If $|x - 2| = p,$ where $x \lt 2,$ then what is $x - p?$

$-2$

$2$

$2 - 2p$

$2p - 2$

$|2p - 2|$

Conceptos:valor absoluto

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Como $x \lt 2$ , tenemos $|x - 2| = 2 - x = p$ , de modo que $x = 2 - p$ .

Entonces $x - p = (2 - p) - p = 2 - 2p.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $x \lt 2,$ we have $|x - 2| = 2 - x = p,$ so $x = 2 - p.$

Then $x - p = (2 - p) - p = 2 - 2p.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Se eligen dos números primos distintos entre $4$ y $18$ . Cuando su suma se resta de su producto, ¿cuál de los siguientes números se podría obtener?

Two different prime numbers between $4$ and $18$ are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

$21$

$60$

$119$

$180$

$231$

Conceptos:primo paridad factorización

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Los primos entre $4$ y $18$ son $5, 7, 11, 13,$ y $17$ .

Para dos primos así, $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ es un producto de dos números pares menos $1,$ y por tanto impar. Entre las opciones, solo $119$ es impar.

En efecto, $\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The primes between $4$ and $18$ are $5, 7, 11, 13,$ and $17.$

For two such primes, $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ is a product of two even numbers minus $1,$ hence odd. Among the choices, only $119$ is odd.

Indeed, $\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuántos enteros positivos $b$ tienen la propiedad de que $\log_b 729$ es un entero positivo?

How many positive integers $b$ have the property that $\log_b 729$ is a positive integer?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:logaritmo conteo de factores potencia perfecta

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Si $\log_b 729 = n$ , entonces $b^n = 729 = 3^6$ , de modo que $n$ debe ser un divisor positivo de $6$ .

Las posibilidades $n = 1, 2, 3, 6$ dan $b = 3^6, 3^3, 3^2, 3^1,$ es decir, $729, 27, 9,$ y $3$ .

Hay $4$ valores de $b$ de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $\log_b 729 = n,$ then $b^n = 729 = 3^6,$ so $n$ must be a positive divisor of $6.$

The possibilities $n = 1, 2, 3, 6$ give $b = 3^6, 3^3, 3^2, 3^1,$ that is, $729, 27, 9,$ and $3.$

There are $4$ such values of $b.$

Thus, the correct answer is E.

8.

Las figuras $0, 1, 2,$ y $3$ constan de $1, 5, 13,$ y $25$ cuadrados unitarios sin solapamiento, respectivamente. Si se continuara el patrón, ¿cuántos cuadrados unitarios sin solapamiento habría en la figura $100$ ?

Figures $0, 1, 2,$ and $3$ consist of $1, 5, 13,$ and $25$ nonoverlapping unit squares, respectively. If the pattern were continued, how many nonoverlapping unit squares would there be in figure $100?$

$10401$

$19801$

$20201$

$39801$

$40801$

Conceptos:reconocimiento de patrones cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

La figura $n$ es un rombo cuyas longitudes de fila aumentan a lo largo de los números impares y luego disminuyen, dando un total de $n^2 + (n + 1)^2$ cuadrados unitarios. Esto coincide con $1, 5, 13, 25$ para $n = 0, 1, 2, 3$ .

Por lo tanto, la figura $100$ tiene $\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201 \end{aligned}$ cuadrados unitarios.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Figure $n$ is a diamond whose row lengths increase through the odd numbers and back down, giving a total of $n^2 + (n + 1)^2$ unit squares. This matches $1, 5, 13, 25$ for $n = 0, 1, 2, 3.$

Therefore figure $100$ has $\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201 \end{aligned}$ unit squares.

Thus, the correct answer is C.

9.

La señora Walter tomó un examen en una clase de matemáticas de cinco estudiantes. Introdujo las calificaciones en orden aleatorio en una hoja de cálculo, que recalculaba el promedio de la clase después de introducir cada calificación. La señora Walter notó que, después de introducir cada calificación, el promedio siempre era un entero. Las calificaciones (en orden ascendente) eran $71, 76, 80, 82,$ y $91$ . ¿Cuál fue la última calificación que introdujo la señora Walter?

Mrs. Walter gave an exam in a mathematics class of five students. She entered the scores in random order into a spreadsheet, which recalculated the class average after each score was entered. Mrs. Walter noticed that after each score was entered, the average was always an integer. The scores (listed in ascending order) were $71, 76, 80, 82,$ and $91.$ What was the last score Mrs. Walter entered?

$71$

$76$

$80$

$82$

$91$

Conceptos:divisibilidad aritmética modular media

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

El total es $71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400,$ que es divisible por $5.$ La suma de las tres primeras calificaciones debe ser divisible por $3$ .

Módulo $3,$ las calificaciones son $2, 1, 2, 1, 1.$ La única terna cuya suma es múltiplo de $3$ es $76 + 82 + 91 = 249,$ así que estas son las tres primeras (con $91$ en tercer lugar, ya que las dos primeras, $76$ y $82,$ deben tener la misma paridad).

Como $249 \equiv 1 \pmod 4,$ la cuarta calificación debe ser $\equiv 3 \pmod 4,$ que es $71.$ Eso deja $80$ como la última calificación introducida.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total is $71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400,$ which is divisible by $5.$ The sum of the first three scores must be divisible by $3.$

Modulo $3,$ the scores are $2, 1, 2, 1, 1.$ The only triple summing to a multiple of $3$ is $76 + 82 + 91 = 249,$ so these are the first three (with $91$ third, since the first two, $76$ and $82,$ must have equal parity).

Since $249 \equiv 1 \pmod 4,$ the fourth score must be $\equiv 3 \pmod 4,$ which is $71.$ That leaves $80$ as the last score entered.

Thus, the correct answer is C.

10.

El punto $P = (1, 2, 3)$ se refleja en el plano $xy$ , luego su imagen $Q$ se rota $180^\circ$ alrededor del eje $x$ para producir $R,$ y finalmente, $R$ se traslada $5$ unidades en la dirección positiva de $y$ para producir $S.$ ¿Cuáles son las coordenadas de $S$ ?

The point $P = (1, 2, 3)$ is reflected in the $xy$ -plane, then its image $Q$ is rotated by $180^\circ$ about the $x$ -axis to produce $R,$ and finally, $R$ is translated by $5$ units in the positive $y$ direction to produce $S.$ What are the coordinates of $S?$

$(1, 7, -3)$

$(-1, 7, -3)$

$(-1, -2, 8)$

$(-1, 3, 3)$

$(1, 3, 3)$

Conceptos:transformación Geometría 3D geometría analítica

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

Reflejar $(1, 2, 3)$ en el plano $xy$ da $Q = (1, 2, -3)$ .

Rotar $180^\circ$ alrededor del eje $x$ cambia el signo de $y$ y $z,$ dando $R = (1, -2, 3)$ .

Trasladar $5$ unidades en la dirección positiva de $y$ da $S = (1, 3, 3)$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Reflecting $(1, 2, 3)$ in the $xy$ -plane gives $Q = (1, 2, -3).$

Rotating $180^\circ$ about the $x$ -axis negates $y$ and $z,$ giving $R = (1, -2, 3).$

Translating $5$ units in the positive $y$ direction gives $S = (1, 3, 3).$

Thus, the correct answer is E.

11.

Dos números reales no nulos, $a$ y $b,$ satisfacen $ab = a - b.$ Halla un valor posible de $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.$

Two non-zero real numbers, $a$ and $b,$ satisfy $ab = a - b.$ Find a possible value of $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.$

$-2$

$-\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$2$

Conceptos:manipulación algebraica sustitución

Nivel de dificultad: 1530

Solución:

Al combinar sobre un denominador común, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Al sustituir $ab$ por $a - b$ en el numerador, $\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}$

Por lo tanto, la expresión es igual a $\dfrac{2ab}{ab} = 2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Combining over a common denominator, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab = \frac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Replacing $ab$ with $a - b$ in the numerator, $\begin{gathered} a^2 + b^2 - (a - b)^2 \\ = a^2 + b^2 \\ {}- (a^2 - 2ab + b^2) \\ = 2ab. \end{gathered}$

Therefore the expression equals $\dfrac{2ab}{ab} = 2.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Sean $A,$ $M$ y $C$ enteros no negativos tales que $A + M + C = 12.$ ¿Cuál es el valor máximo de $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

Let $A,$ $M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C = 12.$ What is the maximum value of $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

$62$

$72$

$92$

$102$

$112$

Conceptos:factorización Desigualdad MA-MG optimización

Nivel de dificultad: 1650

Solución:

Observa que $\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}$

Como $A + M + C = 12,$ esto es igual a $(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13.$ Los tres factores suman $15,$ así que su producto se maximiza cuando cada uno es igual a $5,$ dando $5^3 = 125$ .

El valor máximo es $125 - 13 = 112$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Observe that $\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}$

Since $A + M + C = 12,$ this equals $(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13.$ The three factors sum to $15,$ so their product is maximized when each equals $5,$ giving $5^3 = 125.$

The maximum value is $125 - 13 = 112.$

Thus, the correct answer is E.

13.

Una mañana, cada miembro de la familia de Angela bebió una mezcla de $8$ onzas de café con leche. Las cantidades de café y de leche variaban de taza en taza, pero nunca eran cero. Angela bebió un cuarto de la cantidad total de leche y un sexto de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia?

One morning each member of Angela's family drank an $8$ -ounce mixture of coffee with milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Angela drank a quarter of the total amount of milk and a sixth of the total amount of coffee. How many people are in the family?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:fracción ecuación lineal acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1710

Solución:

Medimos las cantidades en tazas de $8$ onzas, así que la taza de Angela contiene $c$ de café y $m$ de leche con $c + m = 1$ .

Como Angela bebió un sexto del café, el café total es $6c$ ; como bebió un cuarto de la leche, la leche total es $4m.$ El número de personas es igual al número total de tazas, $\begin{aligned} 6c + 4m &= 6c + 4(1 - c) \\ &= 4 + 2c. \end{aligned}$

Esto es un entero solo cuando $2c$ es un entero, y como $0 \lt c \lt 1$ esto obliga a $c = \tfrac12,$ dando $4 + 1 = 5$ personas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Measure amounts in $8$ -ounce cups, so Angela's cup holds $c$ coffee and $m$ milk with $c + m = 1.$

Since Angela drank a sixth of the coffee, the total coffee is $6c$ ; since she drank a quarter of the milk, the total milk is $4m.$ The number of people equals the total number of cups, $\begin{aligned} 6c + 4m &= 6c + 4(1 - c) \\ &= 4 + 2c. \end{aligned}$

This is an integer only when $2c$ is an integer, and since $0 \lt c \lt 1$ this forces $c = \tfrac12,$ giving $4 + 1 = 5$ people.

Thus, the correct answer is C.

14.

Cuando la media, la mediana y la moda de la lista $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$

se ordenan de manera creciente, forman una progresión aritmética no constante. ¿Cuál es la suma de todos los valores reales posibles de $x$ ?

When the mean, median, and mode of the list $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$

are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of $x?$

$3$

$6$

$9$

$17$

$20$

Conceptos:media mediana (datos)moda análisis por casos

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Los seis números fijos suman $25,$ así que la media es $\dfrac{25 + x}{7},$ y la moda es $2.$ Si $x \le 2,$ entonces $2$ es a la vez mediana y moda, lo que obliga a una progresión constante, así que $x \gt 2$ .

Caso $2 \lt x \lt 4$ : la mediana es $x.$ Exigir que $2, x, \dfrac{25 + x}{7}$ formen una progresión aritmética da $x = 3$ como el único valor en este rango.

Caso $x \ge 4$ : la mediana es $4,$ y la progresión $2, 4, 6$ obliga a que la media sea $6,$ así que $\dfrac{25 + x}{7} = 6,$ dando $x = 17$ .

La suma de todos los valores posibles es $3 + 17 = 20$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The six fixed numbers sum to $25,$ so the mean is $\dfrac{25 + x}{7},$ and the mode is $2.$ If $x \le 2,$ then $2$ is both median and mode, forcing a constant progression, so $x \gt 2.$

Case $2 \lt x \lt 4$ : the median is $x.$ Requiring $2, x, \dfrac{25 + x}{7}$ to form an arithmetic progression yields $x = 3$ as the only value in this range.

Case $x \ge 4$ : the median is $4,$ and the progression $2, 4, 6$ forces the mean to be $6,$ so $\dfrac{25 + x}{7} = 6,$ giving $x = 17.$

The sum of all possible values is $3 + 17 = 20.$

Thus, the correct answer is E.

15.

Sea $f$ una función para la cual $f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Halla la suma de todos los valores de $z$ para los cuales $f(3z) = 7.$

Let $f$ be a function for which $f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7.$

$-\dfrac{1}{3}$

$-\dfrac{1}{9}$

$0$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{5}{3}$

Conceptos:función sustitución Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1650

Solución:

Al hacer $\dfrac{x}{3} = 3z$ obtenemos $x = 9z,$ así que $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7. \end{aligned}$

Esto se reordena a $81z^2 + 9z - 6 = 0$ .

Por la fórmula de la suma de raíces, la suma de los valores de $z$ es $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Setting $\dfrac{x}{3} = 3z$ gives $x = 9z,$ so $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7. \end{aligned}$

This rearranges to $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of $z$ is $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}.$

Thus, the correct answer is B.

16.

Un tablero de ajedrez de $13$ filas y $17$ columnas tiene un número escrito en cada casilla, empezando en la esquina superior izquierda, de modo que la primera fila se numera $1, 2, \ldots, 17,$ la segunda fila $18, 19, \ldots, 34,$ y así sucesivamente hacia abajo del tablero. Si el tablero se renumera de modo que la columna izquierda, de arriba abajo, sea $1, 2, \ldots, 13,$ la segunda columna $14, 15, \ldots, 26$ y así sucesivamente a lo ancho del tablero, algunas casillas tienen los mismos números en ambos sistemas de numeración. Halla la suma de los números de estas casillas (bajo cualquiera de los sistemas).

A checkerboard of $13$ rows and $17$ columns has a number written in each square, beginning in the upper left corner, so that the first row is numbered $1, 2, \ldots, 17,$ the second row $18, 19, \ldots, 34,$ and so on down the board. If the board is renumbered so that the left column, top to bottom, is $1, 2, \ldots, 13,$ the second column $14, 15, \ldots, 26$ and so on across the board, some squares have the same numbers in both numbering systems. Find the sum of the numbers in these squares (under either system).

$222$

$333$

$444$

$555$

$666$

Conceptos:Ecuación diofántica enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

La casilla $(m, n)$ se numera $17(m - 1) + n$ originalmente y $13(n - 1) + m$ tras la renumeración. Igualarlos da $4m - 3n = 1.$

Las soluciones con $1 \le m \le 13$ y $1 \le n \le 17$ son $(1, 1),$ $(4, 5),$ $(7, 9),$ $(10, 13),$ y $(13, 17).$

Estas casillas contienen los números $1, 56, 111, 166,$ y $221,$ cuya suma es $555$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The square $(m, n)$ is numbered $17(m - 1) + n$ originally and $13(n - 1) + m$ after renumbering. Setting these equal gives $4m - 3n = 1.$

The solutions with $1 \le m \le 13$ and $1 \le n \le 17$ are $(1, 1),$ $(4, 5),$ $(7, 9),$ $(10, 13),$ and $(13, 17).$

These squares hold the numbers $1, 56, 111, 166,$ and $221,$ whose sum is $555.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Una circunferencia con centro en $O$ tiene radio $1$ y contiene al punto $A.$ El segmento $AB$ es tangente a la circunferencia en $A$ y $\angle AOB = \theta.$ Si el punto $C$ está en $\overline{OA}$ y $BC$ biseca $\angle ABO,$ ¿cuánto vale $OC$ ?

A circle centered at $O$ has radius $1$ and contains the point $A.$ Segment $AB$ is tangent to the circle at $A$ and $\angle AOB = \theta.$ If point $C$ lies on $\overline{OA}$ and $BC$ bisects $\angle ABO,$ then what is $OC?$

$\sec^2\theta - \tan\theta$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\cos^2\theta}{1 + \sin\theta}$

$\dfrac{1}{1 + \sin\theta}$

$\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$

Conceptos:teorema de la bisectriz recta tangente trigonometría

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

Como $OA = 1$ y $AB$ es tangente en $A,$ el ángulo $OAB$ es recto, así que $BA = \tan\theta, \qquad OB = \sec\theta.$

Como $BC$ biseca $\angle ABO,$ el teorema de la bisectriz da $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}.$ Usando $OC + CA = OA = 1,$ $\begin{aligned} OC &= \frac{OB}{OB + BA} \\ &= \frac{\sec\theta}{\sec\theta + \tan\theta}. \end{aligned}$

Al multiplicar numerador y denominador por $\cos\theta$ obtenemos $OC = \dfrac{1}{1 + \sin\theta}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $OA = 1$ and $AB$ is tangent at $A,$ angle $OAB$ is right, so $BA = \tan\theta, \qquad OB = \sec\theta.$

Since $BC$ bisects $\angle ABO,$ the angle bisector theorem gives $\dfrac{OC}{CA} = \dfrac{OB}{BA}.$ Using $OC + CA = OA = 1,$ $\begin{aligned} OC &= \frac{OB}{OB + BA} \\ &= \frac{\sec\theta}{\sec\theta + \tan\theta}. \end{aligned}$

Multiplying numerator and denominator by $\cos\theta$ gives $OC = \dfrac{1}{1 + \sin\theta}.$

Thus, the correct answer is D.

18.

En el año $N,$ el día $300$ del año es un martes. En el año $N + 1,$ el día $200$ también es un martes. ¿En qué día de la semana cayó el día $100$ del año $N - 1$ ?

In year $N,$ the $300$ th day of the year is a Tuesday. In year $N + 1,$ the $200$ th day is also a Tuesday. On what day of the week did the $100$ th day of year $N - 1$ occur?

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

domingo

Sunday

lunes

Monday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

Desde el día $300$ del año $N$ hasta el día $200$ del año $N + 1,$ el número de días es $365 - 300 + 200 = 265$ si $N$ no es un año bisiesto. Pero $265 = 7 \cdot 37 + 6,$ lo que caería en un lunes, no en un martes.

Así que el año $N$ es bisiesto, y la diferencia es de $266 = 7 \cdot 38$ días, dando un martes como se indica. Se sigue que el año $N - 1$ no es bisiesto.

El día $100$ del año $N - 1$ precede al martes del día $300$ del año $N$ en $365 - 100 + 300 = 565$ días. Como $565 = 7 \cdot 80 + 5,$ ese día es $5$ días de la semana antes del martes, es decir, jueves.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From day $300$ of year $N$ to day $200$ of year $N + 1,$ the number of days is $365 - 300 + 200 = 265$ if $N$ is not a leap year. But $265 = 7 \cdot 37 + 6,$ which would land on a Monday, not a Tuesday.

So year $N$ is a leap year, and the gap is $266 = 7 \cdot 38$ days, giving a Tuesday as stated. It follows that year $N - 1$ is not a leap year.

The $100$ th day of year $N - 1$ precedes the Tuesday on day $300$ of year $N$ by $365 - 100 + 300 = 565$ days. Since $565 = 7 \cdot 80 + 5,$ that day is $5$ weekdays before Tuesday, namely Thursday.

Thus, the correct answer is A.

19.

En el triángulo $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $AC = 15.$ Sea $D$ el punto medio de $\overline{BC}$ y sea $E$ la intersección de $\overline{BC}$ con la bisectriz del ángulo $BAC.$ ¿Cuál de los siguientes está más cerca del área del triángulo $ADE$ ?

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $AC = 15.$ Let $D$ denote the midpoint of $\overline{BC}$ and let $E$ denote the intersection of $\overline{BC}$ with the bisector of angle $BAC.$ Which of the following is closest to the area of triangle $ADE?$

$2$

$2.5$

$3$

$3.5$

$4$

Conceptos:Fórmula de Herón teorema de la bisectriz área del triángulo

Nivel de dificultad: 1810

Solución:

Por la fórmula de Herón, el área de $\triangle ABC$ es $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ así que la altura desde $A$ hasta $BC$ es $\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12$ .

El punto medio $D$ está a $7$ de $B.$ La bisectriz desde $A$ corta a $BC$ en $E$ con $BE : EC = AB : AC = 13 : 15,$ así que $BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5$ .

Tanto $D$ como $E$ están sobre $BC,$ así que $\triangle ADE$ tiene base $DE = 7 - 6.5 = 0.5$ y altura $12,$ dando un área de $\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By Heron's formula, the area of $\triangle ABC$ is $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84,$ so the altitude from $A$ to $BC$ is $\dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

The midpoint $D$ is $7$ from $B.$ The bisector from $A$ meets $BC$ at $E$ with $BE : EC = AB : AC = 13 : 15,$ so $BE = 14 \cdot \dfrac{13}{28} = 6.5.$

Both $D$ and $E$ lie on $BC,$ so $\triangle ADE$ has base $DE = 7 - 6.5 = 0.5$ and altitude $12,$ giving area $\tfrac12 \cdot 0.5 \cdot 12 = 3.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Si $x,$ $y$ y $z$ son números positivos que satisfacen $x + \frac{1}{y} = 4,$ $y + \frac{1}{z} = 1,$ y $z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3},$ ¿cuánto vale $xyz$ ?

If $x,$ $y,$ and $z$ are positive numbers satisfying $x + \frac{1}{y} = 4,$ $y + \frac{1}{z} = 1,$ and $z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3},$ then what is $xyz?$

$\dfrac{2}{3}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$2$

$\dfrac{7}{3}$

Conceptos:sistema de ecuaciones manipulación algebraica simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Al sumar las tres ecuaciones se obtiene $\begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}. \end{gathered}$

Al multiplicarlas se obtiene $4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}.$

Al desarrollar el producto, $\begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}. \end{aligned}$ El grupo central es la suma $\tfrac{22}{3},$ así que $xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2.$

Por lo tanto $(xyz - 1)^2 = 0,$ así que $xyz = 1$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Adding the three equations gives $\begin{gathered} \left(x + \tfrac1y\right) + \left(y + \tfrac1z\right) \\ {}+ \left(z + \tfrac1x\right) \\ = 4 + 1 + \tfrac73 \\ = \tfrac{22}{3}. \end{gathered}$

Multiplying them gives $4 \cdot 1 \cdot \tfrac73 = \tfrac{28}{3}.$

Expanding the product, $\begin{aligned} &\left(x + \tfrac1y\right) \\ &\quad {}\cdot \left(y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}\cdot \left(z + \tfrac1x\right) \\ &= xyz \\ &\quad {}+ \left(x + y + z + \tfrac1x + \tfrac1y + \tfrac1z\right) \\ &\quad {}+ \frac{1}{xyz}. \end{aligned}$ The middle group is the sum $\tfrac{22}{3},$ so $xyz + \dfrac{1}{xyz} = \tfrac{28}{3} - \tfrac{22}{3} = 2.$

Hence $(xyz - 1)^2 = 0,$ so $xyz = 1.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Por un punto en la hipotenusa de un triángulo rectángulo se trazan rectas paralelas a los catetos del triángulo, de modo que el triángulo queda dividido en un cuadrado y dos triángulos rectángulos más pequeños. El área de uno de los dos triángulos rectángulos pequeños es $m$ veces el área del cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del otro triángulo rectángulo pequeño y el área del cuadrado?

Through a point on the hypotenuse of a right triangle, lines are drawn parallel to the legs of the triangle so that the triangle is divided into a square and two smaller right triangles. The area of one of the two small right triangles is $m$ times the area of the square. What is the ratio of the area of the other small right triangle to the area of the square?

$\dfrac{1}{2m + 1}$

$m$

$1 - m$

$\dfrac{1}{4m}$

$\dfrac{1}{8m^2}$

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Sea el cuadrado de lado $1.$ El triángulo pequeño que comparte un lado del cuadrado tiene un cateto perpendicular $r,$ así que su área es $\tfrac12 \cdot 1 \cdot r = m,$ dando $r = 2m.$

Los dos triángulos pequeños son semejantes, así que el cateto del otro triángulo a lo largo del cuadrado es $\dfrac1r,$ y su área es $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac1r = \frac{1}{2r} = \frac{1}{4m}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the square have side $1.$ The small triangle sharing one side of the square has a perpendicular leg $r,$ so its area is $\tfrac12 \cdot 1 \cdot r = m,$ giving $r = 2m.$

The two small triangles are similar, so the other triangle's leg along the square is $\dfrac1r,$ and its area is $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac1r = \frac{1}{2r} = \frac{1}{4m}.$

Thus, the correct answer is D.

22.

La gráfica de abajo muestra una parte de la curva definida por el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d.$ ¿Cuál de los siguientes es el menor?

The graph below shows a portion of the curve defined by the quartic polynomial $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d.$ Which of the following is the smallest?

$P(-1)$

El producto de los ceros de $P$

The product of the zeros of $P$

El producto de los ceros no reales de $P$

The product of the non-real zeros of $P$

La suma de los coeficientes de $P$

The sum of the coefficients of $P$

La suma de los ceros reales de $P$

The sum of the real zeros of $P$

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta número complejo

Nivel de dificultad: 2030

Solución:

La gráfica cruza el eje $x$ exactamente dos veces, ambas en valores positivos, así que $P$ tiene dos ceros reales y dos ceros no reales (complejos conjugados).

Leyendo de la gráfica: la suma de los coeficientes es $P(1) \gt 3;$ $P(-1) \gt 4;$ la suma de los ceros reales es mayor que $4.5;$ y el producto de todos los ceros es $d,$ la intersección con el eje $y$ , que es menor que $6.$

Sea $R$ el producto de los ceros reales, así que $R \gt 4.5$ . El producto de los ceros no reales es $\dfrac dR$ , que es menor que $\dfrac{6}{4.5} \lt 2.$

Esto es menor que todas las demás cantidades listadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The graph crosses the $x$ -axis exactly twice, both times at positive values, so $P$ has two real zeros and two non-real (complex conjugate) zeros.

Reading off the graph: the sum of the coefficients is $P(1) \gt 3;$ $P(-1) \gt 4;$ the sum of the real zeros is greater than $4.5;$ and the product of all zeros is $d,$ the $y$ -intercept, which is less than $6.$

Let $R$ be the product of the real zeros, so $R \gt 4.5$ . The product of the non-real zeros is $\dfrac dR$ , which is less than $\dfrac{6}{4.5} \lt 2.$

This is smaller than every other listed quantity.

Thus, the correct answer is C.

23.

El profesor Gamble compra un billete de lotería, que requiere que elija seis enteros distintos del $1$ al $46,$ inclusive. Elige sus números de modo que la suma de los logaritmos en base diez de sus seis números sea un entero. Resulta que los enteros del billete ganador tienen la misma propiedad: la suma de sus logaritmos en base diez es un entero. ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor Gamble tenga el billete ganador?

Professor Gamble buys a lottery ticket, which requires that he pick six different integers from $1$ through $46,$ inclusive. He chooses his numbers so that the sum of the base-ten logarithms of his six numbers is an integer. It so happens that the integers on the winning ticket have the same property -- the sum of the base-ten logarithms is an integer. What is the probability that Professor Gamble holds the winning ticket?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

Conceptos:logaritmo factorización en primos probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2330

Solución:

La suma de los logaritmos es un entero $k$ exactamente cuando el producto de los seis números es $10^k.$ Como $10 = 2 \cdot 5,$ cada número elegido debe ser de la forma $2^a 5^b,$ así que proviene de $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40.$

Para cada uno, registra el exceso de factores de $2$ sobre factores de $5$ : $0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2.$ El producto es una potencia de $10$ solo si los seis valores elegidos tienen totales iguales de $2$ y de $5$ , es decir, sus excesos suman $0.$

Al recorrer las posibilidades, existen exactamente cuatro billetes válidos: $\{1, 5, 10, 20, 25, 40\},$ $\{1, 2, 5, 10, 25, 40\},$ $\{1, 2, 4, 5, 10, 25\},$ y $\{1, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

El profesor Gamble tiene uno de estos cuatro, y solo uno coincide con el billete ganador, así que la probabilidad es $\dfrac14$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sum of the logarithms is an integer $k$ exactly when the product of the six numbers is $10^k.$ Since $10 = 2 \cdot 5,$ each chosen number must be of the form $2^a 5^b,$ so it comes from $1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40.$

For each, record the excess of factors of $2$ over factors of $5$ : $0, 1, 2, -1, 3, 0, 4, 1, -2, 5, 2.$ The product is a power of $10$ only if the six chosen values have equal totals of $2$ s and $5$ s, i.e. their excesses sum to $0.$

Working through the possibilities, exactly four valid tickets exist: $\{1, 5, 10, 20, 25, 40\},$ $\{1, 2, 5, 10, 25, 40\},$ $\{1, 2, 4, 5, 10, 25\},$ and $\{1, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

Professor Gamble holds one of these four, and only one matches the winning ticket, so the probability is $\dfrac14.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Si los arcos circulares $AC$ y $BC$ tienen centros en $B$ y $A,$ respectivamente, entonces existe un círculo tangente tanto al arco $AC$ como al arco $BC,$ y a $\overline{AB}.$ Si la longitud del arco $BC$ es $12,$ ¿cuál es la circunferencia del círculo?

If circular arcs $AC$ and $BC$ have centers at $B$ and $A,$ respectively, then there exists a circle tangent to both arc $AC$ and arc $BC,$ and to $\overline{AB}.$ If the length of arc $BC$ is $12,$ then what is the circumference of the circle?

$24$

$25$

$26$

$27$

$28$

Conceptos:potencia de un punto circunferencias tangentes arco

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Cada arco tiene radio $AB,$ y $C$ está a distancia $AB$ tanto de $A$ como de $B,$ así que $\triangle ABC$ es equilátero. Por lo tanto, el arco $BC$ subtiende $60^\circ$ de un círculo de radio $AB,$ cuya circunferencia completa es $6 \cdot 12 = 72.$

Sea el círculo pequeño de radio $r$ que toca $\overline{AB}$ en su punto medio $D,$ donde $AD = \tfrac12 AB.$ Por la potencia de un punto, $AD^2 = AB(AB - 2r),$ así que $\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,$ dando $2r = \tfrac34 AB,$ y por lo tanto $r = \tfrac38 AB.$

Las circunferencias están en la razón de los radios, así que la circunferencia del círculo pequeño es $\tfrac38 \cdot 72 = 27$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each arc has radius $AB,$ and $C$ is at distance $AB$ from both $A$ and $B,$ so $\triangle ABC$ is equilateral. Thus arc $BC$ subtends $60^\circ$ of a circle of radius $AB,$ whose full circumference is $6 \cdot 12 = 72.$

Let the small circle have radius $r$ and touch $\overline{AB}$ at its midpoint $D,$ where $AD = \tfrac12 AB.$ By Power of a Point, $AD^2 = AB(AB - 2r),$ so $\frac{AB^2}{4} = AB^2 - 2r\,AB,$ giving $2r = \tfrac34 AB,$ hence $r = \tfrac38 AB.$

The circumferences are in the ratio of the radii, so the small circle's circumference is $\tfrac38 \cdot 72 = 27.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Ocho triángulos equiláteros congruentes, cada uno de un color diferente, se usan para construir un octaedro regular. ¿De cuántas maneras distinguibles se puede construir el octaedro? (Dos octaedros coloreados son distinguibles si ninguno se puede rotar para verse exactamente igual que el otro.)

Eight congruent equilateral triangles, each of a different color, are used to construct a regular octahedron. How many distinguishable ways are there to construct the octahedron? (Two colored octahedrons are distinguishable if neither can be rotated to look just like the other.)

$210$

$560$

$840$

$1260$

$1680$

Conceptos:Lema de Burnside permutaciones simetría

Nivel de dificultad: 2440

Solución:

Hay $8!$ maneras de asignar los ocho colores distintos a las ocho caras. Dos asignaciones dan el mismo octaedro exactamente cuando una es una rotación de la otra.

El grupo de rotaciones de un octaedro regular tiene $24$ elementos. Como los ocho colores son diferentes, ninguna rotación no trivial fija una coloración, así que cada octaedro distinguible corresponde a exactamente $24$ asignaciones.

Por lo tanto, el número de octaedros distinguibles es $\frac{8!}{24} = \frac{40320}{24} = 1680.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are $8!$ ways to assign the eight distinct colors to the eight faces. Two assignments give the same octahedron exactly when one is a rotation of the other.

The rotation group of a regular octahedron has $24$ elements. Because all eight colors are different, no nontrivial rotation fixes a coloring, so each distinguishable octahedron corresponds to exactly $24$ assignments.

Therefore the number of distinguishable octahedrons is $\frac{8!}{24} = \frac{40320}{24} = 1680.$

Thus, the correct answer is E.