Question

En el año $N,$ el día $300$ del año es un martes. En el año $N + 1,$ el día $200$ también es un martes. ¿En qué día de la semana cayó el día $100$ del año $N - 1$ ?

In year $N,$ the $300$ th day of the year is a Tuesday. In year $N + 1,$ the $200$ th day is also a Tuesday. On what day of the week did the $100$ th day of year $N - 1$ occur?

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

domingo

Sunday

lunes

Monday

Respuesta: A

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Dos fechas caen en el mismo día de la semana exactamente cuando el número de días entre ellas es un múltiplo de $7$ .

Two dates fall on the same weekday exactly when the number of days between them is a multiple of $7$

Pista grande:

Usa los dos martes dados para decidir cuál de $N - 1, N, N + 1$ es un año bisiesto.

Use the two given Tuesdays to decide which of $N - 1, N, N + 1$ is a leap year

Solución:

Desde el día $300$ del año $N$ hasta el día $200$ del año $N + 1,$ el número de días es $365 - 300 + 200 = 265$ si $N$ no es un año bisiesto. Pero $265 = 7 \cdot 37 + 6,$ lo que caería en un lunes, no en un martes.

Así que el año $N$ es bisiesto, y la diferencia es de $266 = 7 \cdot 38$ días, dando un martes como se indica. Se sigue que el año $N - 1$ no es bisiesto.

El día $100$ del año $N - 1$ precede al martes del día $300$ del año $N$ en $365 - 100 + 300 = 565$ días. Como $565 = 7 \cdot 80 + 5,$ ese día es $5$ días de la semana antes del martes, es decir, jueves.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From day $300$ of year $N$ to day $200$ of year $N + 1,$ the number of days is $365 - 300 + 200 = 265$ if $N$ is not a leap year. But $265 = 7 \cdot 37 + 6,$ which would land on a Monday, not a Tuesday.

So year $N$ is a leap year, and the gap is $266 = 7 \cdot 38$ days, giving a Tuesday as stated. It follows that year $N - 1$ is not a leap year.

The $100$ th day of year $N - 1$ precedes the Tuesday on day $300$ of year $N$ by $365 - 100 + 300 = 565$ days. Since $565 = 7 \cdot 80 + 5,$ that day is $5$ weekdays before Tuesday, namely Thursday.

Thus, the correct answer is A.

2000 AMC 12 Problema 18

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años