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2023 AMC 12A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2023 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Los círculos C1C_1 y C2C_2 tienen cada uno radio 1,1, y la distancia entre sus centros es 12.\tfrac12. El círculo C3C_3 es el mayor círculo tangente internamente a C1C_1 y C2.C_2. El círculo C4C_4 es tangente internamente a C1C_1 y C2C_2 y tangente externamente a C3.C_3. ¿Cuál es el radio de C4C_4?

Circle C1C_1 and C2C_2 each have radius 1,1, and the distance between their centers is 12.\tfrac12. Circle C3C_3 is the largest circle internally tangent to both C1C_1 and C2.C_2. Circle C4C_4 is internally tangent to both C1C_1 and C2C_2 and externally tangent to C3.C_3. What is the radius of C4?C_4?

114\dfrac{1}{14}

112\dfrac{1}{12}

110\dfrac{1}{10}

328\dfrac{3}{28}

19\dfrac{1}{9}

Respuesta: D
Conceptos:circunferencias tangentesgeometría analítica
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:

Por simetría C3C_3 tiene su centro en el punto medio de C1C2;C_1C_2; su radio es 1−14=341-\tfrac14=\tfrac34

By symmetry C3C_3 is centered at the midpoint of C1C2;C_1C_2; its radius is 1−14=341-\tfrac14=\tfrac34

Pista grande:

Coloca C4C_4 sobre la mediatriz; su centro está a 1−r1-r del centro de un círculo unitario y a 34+r\tfrac34+r del centro de C3C_3

Place C4C_4 on the perpendicular bisector; its center is 1−r1-r from a unit circle’s center and 34+r\tfrac34+r from the center of C3C_3

Solución:

Coloca los centros en O1=(−14,0)O_1=\left(-\tfrac14,0\right) y O2=(14,0).O_2=\left(\tfrac14,0\right). Por simetría C3C_3 tiene su centro en el origen, y la tangencia interna a C1C_1 da radio 1−14=34.1-\tfrac14=\tfrac34.

Sea C4C_4 de radio r,r, con centro en (0,k)(0,k) sobre el eje de simetría. La tangencia externa a C3C_3 da k=34+r,k=\tfrac34+r, y la tangencia interna a C1C_1 da 116+k2=1−r.\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.

Sustituyendo, 116+(34+r)2=(1−r)2,\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2, que se simplifica a 72r=38,\tfrac72 r=\tfrac38, así que r=328.r=\dfrac{3}{28}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the centers at O1=(−14,0)O_1=\left(-\tfrac14,0\right) and O2=(14,0).O_2=\left(\tfrac14,0\right). By symmetry C3C_3 is centered at the origin, and internal tangency to C1C_1 gives radius 1−14=34.1-\tfrac14=\tfrac34.

Let C4C_4 have radius r,r, centered at (0,k)(0,k) on the axis of symmetry. External tangency to C3C_3 gives k=34+r,k=\tfrac34+r, and internal tangency to C1C_1 gives 116+k2=1−r.\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.

Substituting, 116+(34+r)2=(1−r)2,\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2, which simplifies to 72r=38,\tfrac72 r=\tfrac38, so r=328.r=\dfrac{3}{28}.

Thus, the correct answer is D.

Problema 17#17
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Problema 19#19

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