Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2023 AMC 12A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2023 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Los círculos C1C_1 y C2C_2 tienen cada uno radio 1,1, y la distancia entre sus centros es 12.\tfrac12. El círculo C3C_3 es el mayor círculo tangente internamente a C1C_1 y C2.C_2. El círculo C4C_4 es tangente internamente a C1C_1 y C2C_2 y tangente externamente a C3.C_3. ¿Cuál es el radio de C4C_4?
Circle C1C_1 and C2C_2 each have radius 1,1, and the distance between their centers is 12.\tfrac12. Circle C3C_3 is the largest circle internally tangent to both C1C_1 and C2.C_2. Circle C4C_4 is internally tangent to both C1C_1 and C2C_2 and externally tangent to C3.C_3. What is the radius of C4?C_4?
114\dfrac{1}{14}
112\dfrac{1}{12}
110\dfrac{1}{10}
328\dfrac{3}{28}
19\dfrac{1}{9}
Respuesta: D
Conceptos:circunferencias tangentesgeometría analítica
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Por simetría C3C_3 tiene su centro en el punto medio de C1C2;C_1C_2; su radio es 1−14=341-\tfrac14=\tfrac34
By symmetry C3C_3 is centered at the midpoint of C1C2;C_1C_2; its radius is 1−14=341-\tfrac14=\tfrac34
Pista grande:
Coloca C4C_4 sobre la mediatriz; su centro está a 1−r1-r del centro de un círculo unitario y a 34+r\tfrac34+r del centro de C3C_3
Place C4C_4 on the perpendicular bisector; its center is 1−r1-r from a unit circle’s center and 34+r\tfrac34+r from the center of C3C_3
Solución:
Coloca los centros en O1=(−14,0)O_1=\left(-\tfrac14,0\right) y O2=(14,0).O_2=\left(\tfrac14,0\right). Por simetría C3C_3 tiene su centro en el origen, y la tangencia interna a C1C_1 da radio 1−14=34.1-\tfrac14=\tfrac34.
Sea C4C_4 de radio r,r, con centro en (0,k)(0,k) sobre el eje de simetría. La tangencia externa a C3C_3 da k=34+r,k=\tfrac34+r, y la tangencia interna a C1C_1 da 116+k2=1−r.\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.
Sustituyendo, 116+(34+r)2=(1−r)2,\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2, que se simplifica a 72r=38,\tfrac72 r=\tfrac38, así que r=328.r=\dfrac{3}{28}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Put the centers at O1=(−14,0)O_1=\left(-\tfrac14,0\right) and O2=(14,0).O_2=\left(\tfrac14,0\right). By symmetry C3C_3 is centered at the origin, and internal tangency to C1C_1 gives radius 1−14=34.1-\tfrac14=\tfrac34.
Let C4C_4 have radius r,r, centered at (0,k)(0,k) on the axis of symmetry. External tangency to C3C_3 gives k=34+r,k=\tfrac34+r, and internal tangency to C1C_1 gives 116+k2=1−r.\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.
Substituting, 116+(34+r)2=(1−r)2,\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2, which simplifies to 72r=38,\tfrac72 r=\tfrac38, so r=328.r=\dfrac{3}{28}.
Thus, the correct answer is D.
Problema 17#17
Examen completo
Problema 19#19

El Problema 18 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B