Question

Los círculos $C_1$ y $C_2$ tienen cada uno radio $1,$ y la distancia entre sus centros es $\tfrac12.$ El círculo $C_3$ es el mayor círculo tangente internamente a $C_1$ y $C_2.$ El círculo $C_4$ es tangente internamente a $C_1$ y $C_2$ y tangente externamente a $C_3.$ ¿Cuál es el radio de $C_4$ ?

Circle $C_1$ and $C_2$ each have radius $1,$ and the distance between their centers is $\tfrac12.$ Circle $C_3$ is the largest circle internally tangent to both $C_1$ and $C_2.$ Circle $C_4$ is internally tangent to both $C_1$ and $C_2$ and externally tangent to $C_3.$ What is the radius of $C_4?$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{3}{28}$

$\dfrac{1}{9}$

Solución:

Coloca los centros en $O_1=\left(-\tfrac14,0\right)$ y $O_2=\left(\tfrac14,0\right).$ Por simetría $C_3$ tiene su centro en el origen, y la tangencia interna a $C_1$ da radio $1-\tfrac14=\tfrac34.$

Sea $C_4$ de radio $r,$ con centro en $(0,k)$ sobre el eje de simetría. La tangencia externa a $C_3$ da $k=\tfrac34+r,$ y la tangencia interna a $C_1$ da $\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.$

Sustituyendo, $\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2,$ que se simplifica a $\tfrac72 r=\tfrac38,$ así que $r=\dfrac{3}{28}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the centers at $O_1=\left(-\tfrac14,0\right)$ and $O_2=\left(\tfrac14,0\right).$ By symmetry $C_3$ is centered at the origin, and internal tangency to $C_1$ gives radius $1-\tfrac14=\tfrac34.$

Let $C_4$ have radius $r,$ centered at $(0,k)$ on the axis of symmetry. External tangency to $C_3$ gives $k=\tfrac34+r,$ and internal tangency to $C_1$ gives $\sqrt{\tfrac{1}{16}+k^2}=1-r.$

Substituting, $\tfrac{1}{16}+\left(\tfrac34+r\right)^2=(1-r)^2,$ which simplifies to $\tfrac72 r=\tfrac38,$ so $r=\dfrac{3}{28}.$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años