Question

Un círculo centrado en $A$ con radio $1$ y un círculo centrado en $B$ con radio $4$ son tangentes exteriormente. Un tercer círculo es tangente a los dos primeros y a una de sus tangentes exteriores comunes, como se muestra. El radio del tercer círculo es

A circle centered at $A$ with a radius of $1$ and a circle centered at $B$ with a radius of $4$ are externally tangent. A third circle is tangent to the first two and to one of their common external tangents as shown. The radius of the third circle is

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Cuando dos círculos mutuamente tangentes de radios $r$ y $s$ descansan sobre una recta, la distancia entre sus puntos de tangencia es $2\sqrt{rs}.$

Los puntos de contacto de los círculos grandes están a $2\sqrt{1 \cdot 4} = 4$ de distancia. Colocando el círculo pequeño de radio $x$ entre ellos, sus dos distancias de tangencia se suman: $2\sqrt{1 \cdot x} + 2\sqrt{4 \cdot x} = 4.$

Entonces $6\sqrt{x} = 4,$ así que $\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}$ y $x = \dfrac{4}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When two mutually tangent circles of radii $r$ and $s$ both rest on a line, the distance between their points of tangency is $2\sqrt{rs}.$

The big circles' contact points are $2\sqrt{1 \cdot 4} = 4$ apart. Placing the small circle of radius $x$ between them, its two tangent distances add up: $2\sqrt{1 \cdot x} + 2\sqrt{4 \cdot x} = 4.$

Then $6\sqrt{x} = 4,$ so $\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}$ and $x = \dfrac{4}{9}.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años