Question

Cada una de $20$ pelotas se lanza independientemente y al azar a uno de $5$ recipientes. Sea $p$ la probabilidad de que algún recipiente termine con $3$ pelotas, otro con $5$ pelotas, y los otros tres con $4$ pelotas cada uno. Sea $q$ la probabilidad de que cada recipiente termine con $4$ pelotas. ¿Cuánto vale $\dfrac{p}{q}$ ?

Each of $20$ balls is tossed independently and at random into one of $5$ bins. Let $p$ be the probability that some bin ends up with $3$ balls, another with $5$ balls, and the other three with $4$ balls each. Let $q$ be the probability that every bin ends up with $4$ balls. What is $\dfrac{p}{q}?$

$1$

$4$

$8$

$12$

$16$

Solución:

Ambas probabilidades se dividen entre $5^{20},$ así que $\dfrac{p}{q}$ es un cociente de conteos de disposiciones.

Para $q,$ todos los recipientes tienen $4:$ $\dfrac{20!}{(4!)^5}.$ Para $p,$ elige cuál recipiente tiene $3$ y cuál tiene $5$ de $5\cdot 4 = 20$ maneras, por $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} \frac{p}{q} &= 20 \cdot \frac{(4!)^5}{3!\,5!\,(4!)^3} \\ &= 20 \cdot \frac{(4!)^2}{3!\,5!} \\ &= 20 \cdot \frac{576}{720} \\ &= 16. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Both probabilities divide by $5^{20},$ so $\dfrac{p}{q}$ is a ratio of arrangement counts.

For $q,$ all bins have $4:$ $\dfrac{20!}{(4!)^5}.$ For $p,$ choose which bin has $3$ and which has $5$ in $5\cdot 4 = 20$ ways, times $\dfrac{20!}{3!\,5!\,(4!)^3}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac{p}{q} &= 20 \cdot \frac{(4!)^5}{3!\,5!\,(4!)^3} \\ &= 20 \cdot \frac{(4!)^2}{3!\,5!} \\ &= 20 \cdot \frac{576}{720} \\ &= 16. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años