Question

Supongamos que $|x + y| + |x - y| = 2.$ ¿Cuál es el máximo valor posible de $x^2 - 6x + y^2$ ?

Suppose that $|x + y| + |x - y| = 2.$ What is the maximum possible value of $x^2 - 6x + y^2?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:valor absoluto optimización cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

La ecuación $|x+y| + |x-y| = 2$ significa $\max(|x|, |y|) = 1,$ la frontera del cuadrado $[-1,1]^2$

The equation $|x+y| + |x-y| = 2$ means $\max(|x|, |y|) = 1,$ the boundary of the square $[-1,1]^2$

Pista grande:

En ese cuadrado, $x^2 - 6x + y^2$ es mayor cuando $x = -1$ y $y = \pm 1$

On that square, $x^2 - 6x + y^2$ is largest when $x = -1$ and $y = \pm 1$

Solución:

La identidad $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ convierte la condición en $\max(|x|, |y|) = 1,$ la frontera del cuadrado con $|x| \le 1$ y $|y| \le 1.$

En esta región $x^2 - 6x + y^2$ aumenta a medida que $x$ disminuye y a medida que $y^2$ aumenta, así que el máximo está en $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The identity $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ turns the condition into $\max(|x|, |y|) = 1,$ the boundary of the square with $|x| \le 1$ and $|y| \le 1.$

On this region $x^2 - 6x + y^2$ increases as $x$ decreases and as $y^2$ increases, so the maximum is at $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años