Question

Supongamos que $|x + y| + |x - y| = 2.$ ¿Cuál es el máximo valor posible de $x^2 - 6x + y^2$ ?

Suppose that $|x + y| + |x - y| = 2.$ What is the maximum possible value of $x^2 - 6x + y^2?$

$5$

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$8$

$9$

Solución:

La identidad $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ convierte la condición en $\max(|x|, |y|) = 1,$ la frontera del cuadrado con $|x| \le 1$ y $|y| \le 1.$

En esta región $x^2 - 6x + y^2$ aumenta a medida que $x$ disminuye y a medida que $y^2$ aumenta, así que el máximo está en $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The identity $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ turns the condition into $\max(|x|, |y|) = 1,$ the boundary of the square with $|x| \le 1$ and $|y| \le 1.$

On this region $x^2 - 6x + y^2$ increases as $x$ decreases and as $y^2$ increases, so the maximum is at $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años