2011 AMC 12A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Un plan de telefonía móvil cuesta $\$20$ cada mes, más $5$ ¢ por cada mensaje de texto enviado, más $10$ ¢ por cada minuto usado por encima de $30$ horas. En enero Michelle envió $100$ mensajes de texto y habló durante $30.5$ horas. ¿Cuánto tuvo que pagar?

A cell phone plan costs $\$20$ each month, plus $5$ ¢ per text message sent, plus $10$ ¢ for each minute used over $30$ hours. In January Michelle sent $100$ text messages and talked for $30.5$ hours. How much did she have to pay?

$\$24.00$

$\$24.50$

$\$25.50$

$\$28.00$

$\$30.00$

Respuesta: D

Conceptos:dinero conversión de unidades

Nivel de dificultad: 840

Solución:

El cargo por mensajes es $100 \cdot 5 = 500$ centavos $= \$5.$ Ella habló $30$ minutos más allá del límite de $30$ horas, así que el exceso es $30 \cdot 10 = 300$ centavos $= \$3.$

El total es $\$20 + \$5 + \$3 = \$28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The text charge is $100 \cdot 5 = 500$ cents $= \$5.$ She talked $30$ minutes past the $30$ -hour allowance, so the overage is $30 \cdot 10 = 300$ cents $= \$3.$

The total is $\$20 + \$5 + \$3 = \$28.$

Thus, the correct answer is D.

2.

Hay $5$ monedas colocadas planas sobre una mesa según la figura. ¿Cuál es el orden de las monedas de arriba hacia abajo?

There are $5$ coins placed flat on a table according to the figure. What is the order of the coins from top to bottom?

$(C, A, E, D, B)$

$(C, A, D, E, B)$

$(C, D, E, A, B)$

$(C, E, A, D, B)$

$(C, E, D, A, B)$

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 840

Solución:

La moneda $C$ está dibujada como un círculo completo y sin interrupciones, así que nada la cubre y está encima.

Al leer las superposiciones restantes, el arco descubierto de cada moneda muestra que está por encima de la siguiente: $C$ cubre a $E,$ $E$ cubre a $D,$ $D$ cubre a $B,$ y $A$ cubre a $B$ mientras queda por debajo de las demás. Esto da el orden de arriba hacia abajo $(C, E, D, A, B).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Coin $C$ is drawn as a complete, unbroken circle, so nothing covers it and it lies on top.

Reading the remaining overlaps, each coin's uncovered arc shows it sits above the next: $C$ covers $E,$ $E$ covers $D,$ $D$ covers $B,$ and $A$ covers $B$ while lying under the others. This gives the top-to-bottom order $(C, E, D, A, B).$

Thus, the correct answer is E.

3.

Una botella pequeña de champú puede contener $35$ mililitros de champú, mientras que una botella grande puede contener $500$ mililitros de champú. Jasmine quiere comprar la cantidad mínima de botellas pequeñas necesaria para llenar por completo una botella grande. ¿Cuántas botellas debe comprar?

A small bottle of shampoo can hold $35$ milliliters of shampoo, whereas a large bottle can hold $500$ milliliters of shampoo. Jasmine wants to buy the minimum number of small bottles necessary to completely fill a large bottle. How many bottles must she buy?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: E

Conceptos:funciones piso y techo estimación

Nivel de dificultad: 880

Solución:

Catorce botellas contienen $14 \cdot 35 = 490$ mililitros, lo cual no es suficiente. Quince botellas contienen $15 \cdot 35 = 525$ mililitros, lo cual basta.

Así que Jasmine necesita $15$ botellas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Fourteen bottles hold $14 \cdot 35 = 490$ milliliters, which is not enough. Fifteen bottles hold $15 \cdot 35 = 525$ milliliters, which suffices.

So Jasmine needs $15$ bottles.

Thus, the correct answer is E.

4.

En una escuela primaria, los estudiantes de tercer grado, cuarto grado y quinto grado corren un promedio de $12,$ $15,$ y $10$ minutos por día, respectivamente. Hay el doble de estudiantes de tercer grado que de cuarto grado, y el doble de estudiantes de cuarto grado que de quinto grado. ¿Cuál es el promedio de minutos corridos por día por estos estudiantes?

At an elementary school, the students in third grade, fourth grade, and fifth grade run an average of $12,$ $15,$ and $10$ minutes per day, respectively. There are twice as many third graders as fourth graders, and twice as many fourth graders as fifth graders. What is the average number of minutes run per day by these students?

$12$

$\dfrac{37}{3}$

$\dfrac{88}{7}$

$13$

$14$

Respuesta: C

Conceptos:media ponderada razón y proporción

Nivel de dificultad: 1040

Solución:

Toma los tamaños de los grados en la razón $4 : 2 : 1$ para tercer, cuarto y quinto grado. El promedio ponderado es $\begin{gathered} \dfrac{4 \cdot 12 + 2 \cdot 15 + 1 \cdot 10}{7} \\ = \dfrac{48 + 30 + 10}{7} \\ = \dfrac{88}{7}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take the grade sizes in the ratio $4 : 2 : 1$ for third, fourth, and fifth grades. The weighted average is $\begin{gathered} \dfrac{4 \cdot 12 + 2 \cdot 15 + 1 \cdot 10}{7} \\ = \dfrac{48 + 30 + 10}{7} \\ = \dfrac{88}{7}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

5.

El verano pasado $30\%$ de las aves que vivían en Town Lake eran gansos, $25\%$ eran cisnes, $10\%$ eran garzas, y $35\%$ eran patos. ¿Qué porcentaje de las aves que no eran cisnes eran gansos?

Last summer $30\%$ of the birds living on Town Lake were geese, $25\%$ were swans, $10\%$ were herons, and $35\%$ were ducks. What percent of the birds that were not swans were geese?

$20$

$30$

$40$

$50$

$60$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 990

Solución:

Las aves que no son cisnes constituyen $100\% - 25\% = 75\%$ del total, y los gansos son $30\%$ del total. La fracción pedida es $\dfrac{30}{75} = \dfrac{2}{5} = 40\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The birds that are not swans make up $100\% - 25\% = 75\%$ of the total, and geese are $30\%$ of the total. The requested fraction is $\dfrac{30}{75} = \dfrac{2}{5} = 40\%.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Los jugadores de un equipo de baloncesto anotaron algunos tiros de tres puntos, algunos tiros de dos puntos, y algunos tiros libres de un punto. Anotaron tantos puntos con los tiros de dos puntos como con los de tres puntos. Su cantidad de tiros libres acertados fue uno más que su cantidad de tiros de dos puntos acertados. La puntuación total del equipo fue de $61$ puntos. ¿Cuántos tiros libres acertaron?

The players on a basketball team made some three-point shots, some two-point shots, and some one-point free throws. They scored as many points with two-point shots as with three-point shots. Their number of successful free throws was one more than their number of successful two-point shots. The team's total score was $61$ points. How many free throws did they make?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Sea $a$ la cantidad de tiros de dos puntos. Los tiros de dos puntos anotan $2a$ puntos, y los tiros de tres puntos anotan los mismos $2a$ puntos. Los tiros libres son $a + 1$ y anotan $a + 1$ puntos.

El total es $\begin{gathered} 2a + 2a + (a + 1) \\ = 5a + 1 = 61, \end{gathered}$ así que $a = 12$ y los tiros libres son $a + 1 = 13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $a$ be the number of two-point shots. The two-point shots score $2a$ points, and the three-point shots score the same $2a$ points. The free throws number $a + 1$ and score $a + 1$ points.

The total is $\begin{gathered} 2a + 2a + (a + 1) \\ = 5a + 1 = 61, \end{gathered}$ so $a = 12$ and the free throws number $a + 1 = 13.$

Thus, the correct answer is A.

7.

La mayoría de los $30$ estudiantes de la clase de la Sra. Demeanor compraron lápices en la librería de la escuela. Cada uno de estos estudiantes compró la misma cantidad de lápices, y esta cantidad era mayor que $1.$ El costo de un lápiz en centavos era mayor que la cantidad de lápices que compró cada estudiante, y el costo total de todos los lápices fue $\$17.71.$ ¿Cuál era el costo de un lápiz en centavos?

A majority of the $30$ students in Ms. Demeanor's class bought pencils at the school bookstore. Each of these students bought the same number of pencils, and this number was greater than $1.$ The cost of a pencil in cents was greater than the number of pencils each student bought, and the total cost of all the pencils was $\$17.71.$ What was the cost of a pencil in cents?

$7$

$11$

$17$

$23$

$77$

Respuesta: B

Conceptos:factorización en primos divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El total en centavos es $1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$ Escribiendo (estudiantes)(lápices por persona)(costo por lápiz) $= 1771,$ la cantidad de estudiantes es un divisor de $1771$ que es una mayoría de $30,$ por lo tanto más de $15.$ El único divisor así es $23.$

Entonces (lápices)(costo) $= 77 = 7 \cdot 11$ con costo $\gt$ lápices $\gt 1,$ lo que obliga a $7$ lápices a $11$ centavos cada uno.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Total cents is $1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$ Writing (students)(pencils each)(cost per pencil) $= 1771,$ the number of students is a divisor of $1771$ that is a majority of $30,$ hence more than $15.$ The only such divisor is $23.$

Then (pencils)(cost) $= 77 = 7 \cdot 11$ with cost $\gt$ pencils $\gt 1,$ forcing $7$ pencils at $11$ cents each.

Thus, the correct answer is B.

8.

En la sucesión de ocho términos $A, B, C, D, E, F, G, H,$ el valor de $C$ es $5$ y la suma de tres términos consecutivos cualesquiera es $30.$ ¿Cuánto vale $A + H$ ?

In the eight-term sequence $A, B, C, D, E, F, G, H,$ the value of $C$ is $5$ and the sum of any three consecutive terms is $30.$ What is $A + H?$

$17$

$18$

$25$

$26$

$43$

Respuesta: C

Conceptos:reconocimiento de patrones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Como $A + B + C = B + C + D = 30,$ obtenemos $D = A,$ y de igual manera la sucesión se repite con período $3.$ Así $H,$ el octavo término, es igual a $B.$

De $A + B + C = 30$ y $C = 5,$ tenemos $A + H = A + B = 30 - 5 = 25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $A + B + C = B + C + D = 30,$ we get $D = A,$ and likewise the sequence repeats with period $3.$ Thus $H,$ the eighth term, equals $B.$

From $A + B + C = 30$ and $C = 5,$ we have $A + H = A + B = 30 - 5 = 25.$

Thus, the correct answer is C.

9.

En una convención de gemelos y trillizos, había $9$ conjuntos de gemelos y $6$ conjuntos de trillizos, todos de familias diferentes. Cada gemelo estrechó la mano de todos los gemelos excepto su hermano/hermana y de la mitad de los trillizos. Cada trillizo estrechó la mano de todos los trillizos excepto sus hermanos y de la mitad de los gemelos. ¿Cuántos apretones de manos hubo?

At a twins and triplets convention, there were $9$ sets of twins and $6$ sets of triplets, all from different families. Each twin shook hands with all the twins except his/her sibling and with half the triplets. Each triplet shook hands with all the triplets except his/her siblings and with half the twins. How many handshakes took place?

$324$

$441$

$630$

$648$

$882$

Respuesta: B

Conceptos:conteo de pares análisis por casos

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Hay $18$ gemelos y $18$ trillizos.

Apretones gemelo-gemelo: cada gemelo estrecha la mano de $18 - 2 = 16$ otros gemelos, lo que da $\dfrac{18 \cdot 16}{2} = 144.$

Apretones trillizo-trillizo: cada trillizo estrecha la mano de $18 - 3 = 15$ otros trillizos, lo que da $\dfrac{18 \cdot 15}{2} = 135.$

Apretones gemelo-trillizo: cada gemelo estrecha la mano de la mitad de los $18$ trillizos, lo que da $18 \cdot 9 = 162$ (cada apretón de este tipo se cuenta una vez).

El total es $144 + 135 + 162 = 441.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $18$ twins and $18$ triplets.

Twin-twin handshakes: each twin shakes $18 - 2 = 16$ other twins, giving $\dfrac{18 \cdot 16}{2} = 144.$

Triplet-triplet handshakes: each triplet shakes $18 - 3 = 15$ other triplets, giving $\dfrac{18 \cdot 15}{2} = 135.$

Twin-triplet handshakes: each twin shakes half the $18$ triplets, giving $18 \cdot 9 = 162$ (each such handshake counted once).

The total is $144 + 135 + 162 = 441.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Se lanza una vez un par de dados justos estándar de $6$ caras. La suma de los números obtenidos determina el diámetro de un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor numérico del área del círculo sea menor que el valor numérico de la circunferencia del círculo?

A pair of standard $6$ -sided fair dice is rolled once. The sum of the numbers rolled determines the diameter of a circle. What is the probability that the numerical value of the area of the circle is less than the numerical value of the circle's circumference?

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{18}$

Respuesta: B

Conceptos:dados (probabilidad)círculo desigualdad

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Para diámetro $d,$ que el área $\lt$ circunferencia significa $\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d,$ es decir $d \lt 4.$ Como $d \ge 2,$ esto requiere una suma de $2$ o $3.$

Una suma de $2$ tiene probabilidad $\dfrac{1}{36}$ y una suma de $3$ tiene probabilidad $\dfrac{2}{36},$ lo que suma $\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For diameter $d,$ area $\lt$ circumference means $\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d,$ i.e. $d \lt 4.$ Since $d \ge 2,$ this needs a sum of $2$ or $3.$

A sum of $2$ has probability $\dfrac{1}{36}$ and a sum of $3$ has probability $\dfrac{2}{36},$ totaling $\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Los círculos $A,$ $B,$ y $C$ tienen cada uno radio $1.$ Los círculos $A$ y $B$ comparten un punto de tangencia. El círculo $C$ tiene un punto de tangencia con el punto medio de $\overline{AB}.$ ¿Cuál es el área dentro del círculo $C$ pero fuera del círculo $A$ y del círculo $B$ ?

Circles $A,$ $B,$ and $C$ each have radius $1.$ Circles $A$ and $B$ share one point of tangency. Circle $C$ has a point of tangency with the midpoint of $\overline{AB}.$ What is the area inside circle $C$ but outside circle $A$ and circle $B?$

$3 - \dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$1 + \dfrac{\pi}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:área del círculo circunferencias tangentes descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Coloca $A = (-1, 0),$ $B = (1, 0),$ de modo que su punto de tangencia es el origen, el punto medio de $\overline{AB}.$ Entonces $C = (0, 1),$ ya que $C$ pasa por el origen.

La distancia de $C$ a $A$ (y a $B$ ) es $\sqrt2.$ Dos círculos unitarios cuyos centros están a $\sqrt2$ de distancia se superponen en una lente de área $\begin{gathered} 2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right) \\ {}- \tfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{4 - 2} \\ = 2 \cdot \tfrac{\pi}{4} - 1 = \tfrac{\pi}{2} - 1. \end{gathered}$

Los círculos $A$ y $B$ se encuentran solo en el origen, así que las dos lentes no se superponen. El área buscada es $\pi - 2\left(\tfrac{\pi}{2} - 1\right) = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place $A = (-1, 0),$ $B = (1, 0),$ so their tangency point is the origin, the midpoint of $\overline{AB}.$ Then $C = (0, 1),$ since $C$ passes through the origin.

The distance from $C$ to $A$ (and to $B$ ) is $\sqrt2.$ Two unit circles whose centers are $\sqrt2$ apart overlap in a lens of area $\begin{gathered} 2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right) \\ {}- \tfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{4 - 2} \\ = 2 \cdot \tfrac{\pi}{4} - 1 = \tfrac{\pi}{2} - 1. \end{gathered}$

Circles $A$ and $B$ meet only at the origin, so the two lenses do not overlap. The wanted area is $\pi - 2\left(\tfrac{\pi}{2} - 1\right) = 2.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Una lancha motora y una balsa salieron ambas del muelle $A$ en un río y se dirigieron río abajo. La balsa se dejó llevar a la velocidad de la corriente del río. La lancha motora mantuvo una velocidad constante con respecto al río. La lancha motora llegó al muelle $B$ río abajo, luego inmediatamente giró y viajó de vuelta río arriba. Finalmente se encontró con la balsa en el río $9$ horas después de salir del muelle $A.$ ¿Cuántas horas tardó la lancha motora en ir de $A$ a $B$ ?

A power boat and a raft both left dock $A$ on a river and headed downstream. The raft drifted at the speed of the river current. The power boat maintained a constant speed with respect to the river. The power boat reached dock $B$ downriver, then immediately turned and traveled back upriver. It eventually met the raft on the river $9$ hours after leaving dock $A.$ How many hours did it take the power boat to go from $A$ to $B?$

$3$

$3.5$

$4$

$4.5$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo simetría

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Mide todo con respecto al agua. En ese marco la balsa está inmóvil en el punto donde empezó la lancha, y la lancha se mueve a su velocidad constante $v$ con respecto al agua, tanto río abajo como río arriba.

La lancha deja la balsa, se aleja durante cierto tiempo, luego regresa a ella a la misma velocidad relativa, así que emplea tiempos iguales en ir y en volver. Por lo tanto el trayecto de ida hasta $B$ tarda la mitad de $9,$ que es $4.5$ horas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Measure everything relative to the water. In that frame the raft is stationary at the point where the boat started, and the boat moves at its constant speed $v$ relative to the water, both downstream and upstream.

The boat leaves the raft, travels away for some time, then returns to it at the same relative speed, so it spends equal times going and returning. Hence the outbound leg to $B$ takes half of $9,$ which is $4.5$ hours.

Thus, the correct answer is D.

13.

El triángulo $ABC$ tiene longitudes de lados $AB = 12,$ $BC = 24,$ y $AC = 18.$ La recta que pasa por el incentro de $\triangle ABC$ paralela a $\overline{BC}$ corta a $\overline{AB}$ en $M$ y a $\overline{AC}$ en $N.$ ¿Cuál es el perímetro de $\triangle AMN$ ?

Triangle $ABC$ has side-lengths $AB = 12,$ $BC = 24,$ and $AC = 18.$ The line through the incenter of $\triangle ABC$ parallel to $\overline{BC}$ intersects $\overline{AB}$ at $M$ and $\overline{AC}$ at $N.$ What is the perimeter of $\triangle AMN?$

$27$

$30$

$33$

$36$

$42$

Respuesta: B

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio rectas paralelas triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Sea $I$ el incentro. Como $\overline{BI}$ biseca $\angle B$ y $MN \parallel BC,$ los ángulos alternos dan $\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,$ así que $\triangle MBI$ es isósceles con $MB = MI.$ De manera similar $NC = NI.$

Por lo tanto el perímetro de $\triangle AMN$ es $\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $I$ be the incenter. Because $\overline{BI}$ bisects $\angle B$ and $MN \parallel BC,$ alternate angles give $\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,$ so $\triangle MBI$ is isosceles with $MB = MI.$ Similarly $NC = NI.$

Therefore the perimeter of $\triangle AMN$ is $\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

14.

Supongamos que $a$ y $b$ son enteros positivos de un solo dígito elegidos de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto $(a, b)$ esté por encima de la parábola $y = ax^2 - bx$ ?

Suppose $a$ and $b$ are single-digit positive integers chosen independently and at random. What is the probability that the point $(a, b)$ lies above the parabola $y = ax^2 - bx?$

$\dfrac{11}{81}$

$\dfrac{13}{81}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{17}{81}$

$\dfrac{19}{81}$

Respuesta: E

Conceptos:parábola probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Sustituyendo $x = a,$ $y = b,$ el punto está por encima de la parábola cuando $b \gt a^3 - ab,$ es decir $b(a + 1) \gt a^3.$

Para $a = 1:$ $b \gt \tfrac12,$ los $9$ valores sirven. Para $a = 2:$ $b \gt \tfrac83,$ así que $b \ge 3,$ lo que da $7.$ Para $a = 3:$ $b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75,$ así que $b \ge 7,$ lo que da $3.$ Para $a \ge 4,$ ningún $b \le 9$ sirve.

El conteo es $9 + 7 + 3 = 19$ de $81,$ así que la probabilidad es $\dfrac{19}{81}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting $x = a,$ $y = b,$ the point is above the parabola when $b \gt a^3 - ab,$ i.e. $b(a + 1) \gt a^3.$

For $a = 1:$ $b \gt \tfrac12,$ all $9$ values work. For $a = 2:$ $b \gt \tfrac83,$ so $b \ge 3,$ giving $7.$ For $a = 3:$ $b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75,$ so $b \ge 7,$ giving $3.$ For $a \ge 4,$ no $b \le 9$ works.

The count is $9 + 7 + 3 = 19$ out of $81,$ so the probability is $\dfrac{19}{81}.$

Thus, the correct answer is E.

15.

La base circular de una semiesfera de radio $2$ descansa sobre la base de una pirámide cuadrada de altura $6.$ La semiesfera es tangente a las otras cuatro caras de la pirámide. ¿Cuál es la longitud de la arista de la base de la pirámide?

The circular base of a hemisphere of radius $2$ rests on the base of a square pyramid of height $6.$ The hemisphere is tangent to the other four faces of the pyramid. What is the edge-length of the base of the pyramid?

$3\sqrt{2}$

$\dfrac{13}{3}$

$4\sqrt{2}$

$6$

$\dfrac{13}{2}$

Respuesta: A

Conceptos:Geometría 3D pirámide fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

Sea la base con lado $s,$ centrada en el origen, con el ápice a altura $6.$ Corta con el plano vertical que pasa por el ápice y los puntos medios de dos aristas opuestas de la base. La cara inclinada aparece como la recta de $\left(\tfrac{s}{2}, 0\right)$ a $(0, 6).$

Esta recta es $\tfrac{2}{s}x + \tfrac16 y = 1.$ La semiesfera es tangente a la cara, así que la distancia del origen a esta recta es el radio $2:$ $\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{4}{s^2} + \tfrac{1}{36}}} = 2.$

Entonces $\tfrac{4}{s^2} + \tfrac{1}{36} = \tfrac14,$ así que $\tfrac{4}{s^2} = \tfrac{2}{9}$ y $s^2 = 18,$ lo que da $s = 3\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the base have side $s,$ centered at the origin, with apex at height $6.$ Cut with the vertical plane through the apex and the midpoints of two opposite base edges. The slant face appears as the line from $\left(\tfrac{s}{2}, 0\right)$ to $(0, 6).$

This line is $\tfrac{2}{s}x + \tfrac16 y = 1.$ The hemisphere is tangent to the face, so the distance from the origin to this line is the radius $2:$ $\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{4}{s^2} + \tfrac{1}{36}}} = 2.$

Then $\tfrac{4}{s^2} + \tfrac{1}{36} = \tfrac14,$ so $\tfrac{4}{s^2} = \tfrac{2}{9}$ and $s^2 = 18,$ giving $s = 3\sqrt2.$

Thus, the correct answer is A.

16.

A cada vértice del pentágono convexo $ABCDE$ se le debe asignar un color. Hay $6$ colores para elegir, y los extremos de cada diagonal deben tener colores diferentes. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each vertex of convex pentagon $ABCDE$ is to be assigned a color. There are $6$ colors to choose from, and the ends of each diagonal must have different colors. How many different colorings are possible?

$2520$

$2880$

$3120$

$3250$

$3750$

Respuesta: C

Conceptos:teoría de grafos inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Las diagonales conectan los vértices en el orden $A - C - E - B - D - A,$ que es un $5$ -ciclo. La condición es exactamente que este ciclo esté coloreado de forma propia.

El número de $k$ -coloraciones propias de un ciclo de longitud $n$ es $(k-1)^n + (-1)^n (k-1).$ Con $n = 5$ y $k = 6,$ $\begin{gathered} 5^5 + (-1)^5 \cdot 5 \\ = 3125 - 5 = 3120. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The diagonals connect the vertices in the order $A - C - E - B - D - A,$ which is a $5$ -cycle. The condition is exactly that this cycle is properly colored.

The number of proper $k$ -colorings of a cycle of length $n$ is $(k-1)^n + (-1)^n (k-1).$ With $n = 5$ and $k = 6,$ $\begin{gathered} 5^5 + (-1)^5 \cdot 5 \\ = 3125 - 5 = 3120. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

17.

Círculos con radios $1,$ $2,$ y $3$ son mutuamente tangentes exteriores. ¿Cuál es el área del triángulo determinado por los puntos de tangencia?

Circles with radii $1,$ $2,$ and $3$ are mutually externally tangent. What is the area of the triangle determined by the points of tangency?

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

$\dfrac{6}{5}$

$\dfrac{4}{3}$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1920

Solución:

Los centros están separados por las sumas de radios: $3,$ $4,$ y $5,$ un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el centro de radio $1$ . Coloca ese centro en $(0,0),$ el centro de radio $2$ en $(3,0),$ y el centro de radio $3$ en $(0,4).$

Los puntos de tangencia están sobre los segmentos a distancias iguales a los radios: $(1, 0),$ $(0, 1),$ y sobre la hipotenusa en $(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right).$

Por la fórmula del cordón, el área es $\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers are separated by the sums of radii: $3,$ $4,$ and $5,$ a right triangle with the right angle at the radius- $1$ center. Place that center at $(0,0),$ the radius- $2$ center at $(3,0),$ and the radius- $3$ center at $(0,4).$

The tangency points lie on the segments at distances equal to the radii: $(1, 0),$ $(0, 1),$ and on the hypotenuse at $(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right).$

By the shoelace formula the area is $\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

18.

Supongamos que $|x + y| + |x - y| = 2.$ ¿Cuál es el máximo valor posible de $x^2 - 6x + y^2$ ?

Suppose that $|x + y| + |x - y| = 2.$ What is the maximum possible value of $x^2 - 6x + y^2?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:valor absoluto optimización cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

La identidad $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ convierte la condición en $\max(|x|, |y|) = 1,$ la frontera del cuadrado con $|x| \le 1$ y $|y| \le 1.$

En esta región $x^2 - 6x + y^2$ aumenta a medida que $x$ disminuye y a medida que $y^2$ aumenta, así que el máximo está en $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The identity $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ turns the condition into $\max(|x|, |y|) = 1,$ the boundary of the square with $|x| \le 1$ and $|y| \le 1.$

On this region $x^2 - 6x + y^2$ increases as $x$ decreases and as $y^2$ increases, so the maximum is at $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Thus, the correct answer is D.

19.

En una competición con $N$ jugadores, la cantidad de jugadores a los que se les otorga estatus de élite es igual a $2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N.$ Supongamos que a $19$ jugadores se les otorga estatus de élite. ¿Cuál es la suma de los dos menores valores posibles de $N$ ?

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$

At a competition with $N$ players, the number of players given elite status is equal to $2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N.$ Suppose that $19$ players are given elite status. What is the sum of the two smallest possible values of $N?$

Note: $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$

$38$

$90$

$154$

$406$

$1024$

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo potencia de 2 análisis por casos

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Sea $m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor,$ así que la cantidad de élite es $2^{m+1} - N = 19,$ lo que da $N = 2^{m+1} - 19.$

La consistencia requiere $2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20,$ es decir $2^m \ge 20,$ así que $m \ge 5.$

Las dos menores opciones son $m = 5$ que da $N = 64 - 19 = 45,$ y $m = 6$ que da $N = 128 - 19 = 109.$ Su suma es $154.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor,$ so the elite count is $2^{m+1} - N = 19,$ giving $N = 2^{m+1} - 19.$

Consistency requires $2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20,$ i.e. $2^m \ge 20,$ so $m \ge 5.$

The two smallest choices are $m = 5$ giving $N = 64 - 19 = 45,$ and $m = 6$ giving $N = 128 - 19 = 109.$ Their sum is $154.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Sea $f(x) = ax^2 + bx + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros. Supongamos que $f(1) = 0,$ $50 \lt f(7) \lt 60,$ $70 \lt f(8) \lt 80,$ y $5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)$ para algún entero $k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

Let $f(x) = ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers. Suppose that $f(1) = 0,$ $50 \lt f(7) \lt 60,$ $70 \lt f(8) \lt 80,$ and $5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)$ for some integer $k.$ What is $k?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrática sistema de ecuaciones acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2030

Solución:

Como $f(1) = a + b + c = 0,$ tenemos $c = -a - b.$ Entonces $f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),$ $f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).$

De $50 \lt 6(8a + b) \lt 60$ obtenemos $8a + b = 9,$ y de $70 \lt 7(9a + b) \lt 80$ obtenemos $9a + b = 11.$ Restando, $a = 2,$ luego $b = -7$ y $c = 5.$

Así que $f(100) = 20000 - 700 + 5$ $= 19305,$ que está en $5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,$ lo que da $k = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $f(1) = a + b + c = 0,$ we have $c = -a - b.$ Then $f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),$ $f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).$

From $50 \lt 6(8a + b) \lt 60$ we get $8a + b = 9,$ and from $70 \lt 7(9a + b) \lt 80$ we get $9a + b = 11.$ Subtracting, $a = 2,$ then $b = -7$ and $c = 5.$

So $f(100) = 20000 - 700 + 5$ $= 19305,$ which lies in $5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,$ giving $k = 3.$

Thus, the correct answer is C.

21.

Sea $f_1(x) = \sqrt{1 - x},$ y para enteros $n \ge 2,$ sea $f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right).$ Si $N$ es el mayor valor de $n$ para el cual el dominio de $f_n$ es no vacío, el dominio de $f_N$ es $\{c\}.$ ¿Cuánto vale $N + c$ ?

Let $f_1(x) = \sqrt{1 - x},$ and for integers $n \ge 2,$ let $f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right).$ If $N$ is the largest value of $n$ for which the domain of $f_n$ is nonempty, the domain of $f_N$ is $\{c\}.$ What is $N + c?$

$-226$

$-144$

$-20$

$20$

$144$

Respuesta: A

Conceptos:función radical recursión

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Cada paso requiere que $\sqrt{n^2 - x}$ esté en el dominio de $f_{n-1}.$ Siguiendo los dominios:

$f_1: (-\infty, 1].$ $f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4].$ $f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0].$ $f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}$ (solo el valor $0$ es posible). $f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.$

Para $f_6$ necesitaríamos $\sqrt{36 - x} = -231,$ imposible, así que el dominio es vacío. Por lo tanto $N = 5,$ $c = -231,$ y $N + c = -226.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each step requires $\sqrt{n^2 - x}$ to lie in the domain of $f_{n-1}.$ Tracking the domains:

$f_1: (-\infty, 1].$ $f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4].$ $f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0].$ $f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}$ (only the value $0$ is possible). $f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.$

For $f_6$ we would need $\sqrt{36 - x} = -231,$ impossible, so the domain is empty. Hence $N = 5,$ $c = -231,$ and $N + c = -226.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Sea $R$ una región cuadrada y $n \ge 4$ un entero. Un punto $X$ en el interior de $R$ se llama $n$ -radial particional si hay $n$ rayos que emanan de $X$ y dividen $R$ en $n$ triángulos de igual área. ¿Cuántos puntos son $100$ -radiales particionales pero no $60$ -radiales particionales?

Let $R$ be a square region and $n \ge 4$ an integer. A point $X$ in the interior of $R$ is called $n$ -ray partitional if there are $n$ rays emanating from $X$ that divide $R$ into $n$ triangles of equal area. How many points are $100$ -ray partitional but not $60$ -ray partitional?

$1500$

$1560$

$2320$

$2480$

$2500$

Respuesta: C

Conceptos:área punto reticular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2460

Solución:

Para $n = 2m$ par, los puntos $n$ -radiales particionales son exactamente $\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right)$ con $1 \le i, j \le m - 1,$ lo que da $(m-1)^2$ puntos.

Para $n = 100$ ( $m = 50$ ) hay $49^2 = 2401$ puntos. Un punto es a la vez $100$ - y $60$ -radial particional si y solo si sus coordenadas son múltiplos de $\tfrac{1}{10},$ es decir es $20$ -radial particional, lo que da $9^2 = 81$ puntos.

Así que el conteo es $2401 - 81 = 2320.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For even $n = 2m,$ the $n$ -ray partitional points are exactly $\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right)$ with $1 \le i, j \le m - 1,$ giving $(m-1)^2$ points.

For $n = 100$ ( $m = 50$ ) there are $49^2 = 2401$ points. A point is both $100$ - and $60$ -ray partitional iff its coordinates are multiples of $\tfrac{1}{10},$ i.e. it is $20$ -ray partitional, giving $9^2 = 81$ points.

So the count is $2401 - 81 = 2320.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Sea $f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}$ y $g(z) = f(f(z)),$ donde $a$ y $b$ son números complejos. Supongamos que $|a| = 1$ y $g(g(z)) = z$ para todo $z$ para el cual $g(g(z))$ está definido. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de $|b|$ ?

Let $f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}$ and $g(z) = f(f(z)),$ where $a$ and $b$ are complex numbers. Suppose that $|a| = 1$ and $g(g(z)) = z$ for all $z$ for which $g(g(z))$ is defined. What is the difference between the largest and smallest possible values of $|b|?$

$0$

$\sqrt{2} - 1$

$\sqrt{3} - 1$

$1$

$2$

Respuesta: C

Conceptos:número complejo matriz raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Representa $f$ con $M = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix}.$ Entonces $g(g(z)) = z$ dice que $f$ compuesta consigo misma cuatro veces es la identidad, así que $M^4$ es una matriz escalar.

Esto ocurre cuando la razón de los valores propios es una raíz cuarta de la unidad. El caso de orden $4$ da $(\operatorname{tr} M)^2 = 2\det M,$ es decir $(1 + b)^2 = 2(b - a),$ que se simplifica a $b^2 = -(1 + 2a).$ El caso de orden $2$ da $b = -1.$

Entonces $|b|^2 = |1 + 2a|,$ y a medida que $a$ recorre $|a| = 1,$ $|1 + 2a|$ toma valores en $[1, 3],$ así que $|b|$ toma valores en $[1, \sqrt3]$ (el valor $b = -1$ está incluido). La diferencia es $\sqrt3 - 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Represent $f$ by $M = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix}.$ Then $g(g(z)) = z$ says $f$ composed with itself four times is the identity, so $M^4$ is a scalar matrix.

This happens when the ratio of eigenvalues is a fourth root of unity. The order- $4$ case gives $(\operatorname{tr} M)^2 = 2\det M,$ i.e. $(1 + b)^2 = 2(b - a),$ which simplifies to $b^2 = -(1 + 2a).$ The order- $2$ case gives $b = -1.$

Then $|b|^2 = |1 + 2a|,$ and as $a$ runs over $|a| = 1,$ $|1 + 2a|$ ranges over $[1, 3],$ so $|b|$ ranges over $[1, \sqrt3]$ (the value $b = -1$ is included). The difference is $\sqrt3 - 1.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Considera todos los cuadriláteros $ABCD$ tales que $AB = 14,$ $BC = 9,$ $CD = 7,$ y $DA = 12.$ ¿Cuál es el radio del mayor círculo posible que cabe dentro o sobre la frontera de tal cuadrilátero?

Consider all quadrilaterals $ABCD$ such that $AB = 14,$ $BC = 9,$ $CD = 7,$ and $DA = 12.$ What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?

$\sqrt{15}$

$\sqrt{21}$

$2\sqrt{6}$

$5$

$2\sqrt{7}$

Respuesta: C

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Brahmagupta cuadrilátero cíclico optimización

Nivel de dificultad: 2460

Solución:

Como $AB + CD = 14 + 7 = 21$ $= 9 + 12 = BC + DA,$ existe un cuadrilátero tangencial (uno con un círculo inscrito) con estos lados. Para un cuadrilátero tangencial el área es igual a $r \cdot s$ con semiperímetro $s = 21,$ así que maximizar $r$ significa maximizar el área.

Entre los cuadriláteros tangenciales con lados dados, la mayor área se alcanza con el cíclico (bicéntrico), cuya área es $\begin{gathered} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ = \sqrt{7 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 9} = 42\sqrt6. \end{gathered}$

Entonces $r = \dfrac{42\sqrt6}{21} = 2\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $AB + CD = 14 + 7 = 21$ $= 9 + 12 = BC + DA,$ a tangential quadrilateral (one with an inscribed circle) with these sides exists. For a tangential quadrilateral the area equals $r \cdot s$ with semiperimeter $s = 21,$ so maximizing $r$ means maximizing the area.

Among tangential quadrilaterals with given sides, the largest area is achieved by the cyclic (bicentric) one, whose area is $\begin{gathered} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ = \sqrt{7 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 9} = 42\sqrt6. \end{gathered}$

Then $r = \dfrac{42\sqrt6}{21} = 2\sqrt6.$

Thus, the correct answer is C.

25.

El triángulo $ABC$ tiene $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ y $AC \ge AB.$ Sean $H,$ $I,$ y $O$ el ortocentro, el incentro y el circuncentro de $\triangle ABC,$ respectivamente. Supongamos que el área del pentágono $BCOIH$ es la máxima posible. ¿Cuánto vale $\angle CBA$ ?

Triangle $ABC$ has $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ and $AC \ge AB.$ Let $H,$ $I,$ and $O$ be the orthocenter, incenter, and circumcenter of $\triangle ABC,$ respectively. Assume that the area of the pentagon $BCOIH$ is the maximum possible. What is $\angle CBA?$

$60^\circ$

$72^\circ$

$75^\circ$

$80^\circ$

$90^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio optimización trigonometría

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Cuando $\angle BAC = 60^\circ,$ un hecho clásico es que $B,$ $C,$ $O,$ $I,$ y $H$ están todos en un círculo común, así que $BCOIH$ es un pentágono cíclico convexo cuyos vértices dependen solo de la forma del triángulo.

Fijando $BC = 1$ y $\angle A = 60^\circ,$ el circunradio es $R = \tfrac{1}{\sqrt3},$ y $O, I, H$ quedan determinados por $\angle CBA = B$ (con $\angle BCA = 120^\circ - B$ ). Escribiendo el área del pentágono como función de $B$ en el rango permitido $60^\circ \le B \le 90^\circ$ y maximizando se obtiene un máximo interior en $B = 80^\circ.$

Así que el ángulo que maximiza es $\angle CBA = 80^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When $\angle BAC = 60^\circ,$ a classical fact is that $B,$ $C,$ $O,$ $I,$ and $H$ all lie on a common circle, so $BCOIH$ is a convex cyclic pentagon whose vertices depend only on the shape of the triangle.

Fixing $BC = 1$ and $\angle A = 60^\circ,$ the circumradius is $R = \tfrac{1}{\sqrt3},$ and $O, I, H$ are determined by $\angle CBA = B$ (with $\angle BCA = 120^\circ - B$ ). Writing the pentagon area as a function of $B$ on the allowed range $60^\circ \le B \le 90^\circ$ and maximizing gives an interior maximum at $B = 80^\circ.$

So the maximizing angle is $\angle CBA = 80^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

Problemas del 2011 AMC 12A

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución: