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2011 AMC 12A Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2011 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2011 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Sea f1(x)=1−x,f_1(x) = \sqrt{1 - x}, y para enteros n≥2,n \ge 2, sea fn(x)=fn−1 ⁣(n2−x).f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right). Si NN es el mayor valor de nn para el cual el dominio de fnf_n es no vacío, el dominio de fNf_N es {c}.\{c\}. ¿Cuánto vale N+cN + c?

Let f1(x)=1−x,f_1(x) = \sqrt{1 - x}, and for integers n≥2,n \ge 2, let fn(x)=fn−1 ⁣(n2−x).f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right). If NN is the largest value of nn for which the domain of fnf_n is nonempty, the domain of fNf_N is {c}.\{c\}. What is N+c?N + c?

−226-226

−144-144

−20-20

2020

144144

Respuesta: A
Conceptos:funciónradicalrecursión
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:

Construye los dominios de adentro hacia afuera: fnf_n requiere que n2−x\sqrt{n^2 - x} esté en el dominio de fn−1f_{n-1}

Build the domains outward: fnf_n needs n2−x\sqrt{n^2 - x} to lie in the domain of fn−1f_{n-1}

Pista grande:

Los tres primeros dominios son (−∞,1],(-\infty,1], [3,4],[3,4], y [−7,0];[-7,0]; continúa recordando que una raíz cuadrada es no negativa

The first three domains are (−∞,1],(-\infty,1], [3,4],[3,4], and [−7,0];[-7,0]; continue while remembering that a square root is nonnegative

Solución:

Cada paso requiere que n2−x\sqrt{n^2 - x} esté en el dominio de fn−1.f_{n-1}. Siguiendo los dominios:

f1:(−∞,1].f_1: (-\infty, 1]. f2:4−x∈(−∞,1]⇒[3,4].f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4]. f3:9−x∈[3,4]⇒[−7,0].f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0]. f4:16−x∈[−7,0]⇒{16}f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\} (solo el valor 00 es posible). f5:25−x=16⇒{−231}.f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.

Para f6f_6 necesitaríamos 36−x=−231,\sqrt{36 - x} = -231, imposible, así que el dominio es vacío. Por lo tanto N=5,N = 5, c=−231,c = -231, y N+c=−226.N + c = -226.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each step requires n2−x\sqrt{n^2 - x} to lie in the domain of fn−1.f_{n-1}. Tracking the domains:

f1:(−∞,1].f_1: (-\infty, 1]. f2:4−x∈(−∞,1]⇒[3,4].f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4]. f3:9−x∈[3,4]⇒[−7,0].f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0]. f4:16−x∈[−7,0]⇒{16}f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\} (only the value 00 is possible). f5:25−x=16⇒{−231}.f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.

For f6f_6 we would need 36−x=−231,\sqrt{36 - x} = -231, impossible, so the domain is empty. Hence N=5,N = 5, c=−231,c = -231, and N+c=−226.N + c = -226.

Thus, the correct answer is A.

Problema 20#20
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