Question

Sea $f_1(x) = \sqrt{1 - x},$ y para enteros $n \ge 2,$ sea $f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right).$ Si $N$ es el mayor valor de $n$ para el cual el dominio de $f_n$ es no vacío, el dominio de $f_N$ es $\{c\}.$ ¿Cuánto vale $N + c$ ?

Let $f_1(x) = \sqrt{1 - x},$ and for integers $n \ge 2,$ let $f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right).$ If $N$ is the largest value of $n$ for which the domain of $f_n$ is nonempty, the domain of $f_N$ is $\{c\}.$ What is $N + c?$

$-226$

$-144$

$-20$

$20$

$144$

Solución:

Cada paso requiere que $\sqrt{n^2 - x}$ esté en el dominio de $f_{n-1}.$ Siguiendo los dominios:

$f_1: (-\infty, 1].$ $f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4].$ $f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0].$ $f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}$ (solo el valor $0$ es posible). $f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.$

Para $f_6$ necesitaríamos $\sqrt{36 - x} = -231,$ imposible, así que el dominio es vacío. Por lo tanto $N = 5,$ $c = -231,$ y $N + c = -226.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each step requires $\sqrt{n^2 - x}$ to lie in the domain of $f_{n-1}.$ Tracking the domains:

$f_1: (-\infty, 1].$ $f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4].$ $f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0].$ $f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}$ (only the value $0$ is possible). $f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.$

For $f_6$ we would need $\sqrt{36 - x} = -231,$ impossible, so the domain is empty. Hence $N = 5,$ $c = -231,$ and $N + c = -226.$

Thus, the correct answer is A.

2011 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años