Question

Considera $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}$

¿Cuál de los siguientes intervalos contiene a $A$ ?

Consider $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}$

Which of the following intervals contains $A?$

$(\log 2016, \log 2017)$

$(\log 2017, \log 2018)$

$(\log 2018, \log 2019)$

$(\log 2019, \log 2020)$

$(\log 2020, \log 2021)$

Respuesta: A

Conceptos:logaritmo acotación a casos límite inducción

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Rastrea dónde se sitúa el valor anidado: $0 \lt A_n \lt 1$ para $n$ pequeño, luego $1 \lt A_n \lt 2,$ etc.

Track where the nested value sits: $0 \lt A_n \lt 1$ for small $n,$ then $1 \lt A_n \lt 2,$ etc.

Pista grande:

Para $n = 2012$ el valor satisface $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ así que estima $2013 + A_{2012}$ .

For $n = 2012$ the value satisfies $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so estimate $2013 + A_{2012}$

Solución:

Sea $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).$ Se comprueba que $0 \lt A_n \lt 1$ para $2 \le n \le 9,$ luego $1 \lt A_n \lt 2$ para $10 \le n \le 98,$ luego $2 \lt A_n \lt 3$ para $99 \le n \le 997,$ y $3 \lt A_n \lt 4$ para $998 \le n \le 9996.$

Por consiguiente $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ así que $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ y en consecuencia $\log 2016 \lt A \lt \log 2017.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).$ One checks $0 \lt A_n \lt 1$ for $2 \le n \le 9,$ then $1 \lt A_n \lt 2$ for $10 \le n \le 98,$ then $2 \lt A_n \lt 3$ for $99 \le n \le 997,$ and $3 \lt A_n \lt 4$ for $998 \le n \le 9996.$

Hence $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ and therefore $\log 2016 \lt A \lt \log 2017.$

Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12A Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años