Question

En un triángulo cuyos lados tienen longitudes $a,$ $b,$ y $c,$ $(a+b+c)(a+b-c)=3ab.$ La medida del ángulo opuesto al lado de longitud $c$ es

In a triangle with sides of lengths $a,$ $b,$ and $c,$ $(a+b+c)(a+b-c)=3ab.$ The measure of the angle opposite the side of length $c$ is

$15^\circ$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$150^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:ley de los cosenos diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Desarrolla el lado izquierdo como una diferencia de cuadrados

Expand the left side as a difference of squares

Pista grande:

Compara la expresión resultante para $c^2$ con la ley de los cosenos

Compare the resulting expression for $c^2$ with the law of cosines

Solución:

La condición da $(a+b)^2-c^2=3ab,$ por lo que $c^2=a^2+b^2-ab.$ Si $\theta$ es el ángulo opuesto a $c,$ la ley de los cosenos dice que $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.$ Por tanto, $2ab\cos\theta=ab,$ así que $\cos\theta=\frac{1}{2}$ y $\theta=60^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The condition gives $(a+b)^2-c^2=3ab,$ so $c^2=a^2+b^2-ab.$ If $\theta$ is opposite $c,$ the law of cosines says $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.$ Therefore $2ab\cos\theta=ab,$ so $\cos\theta=\frac{1}{2}$ and $\theta=60^\circ.$

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años