Question

Sea $a\gt0,$ y sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $\begin{aligned} &P(1)=P(3)=P(5) \\ &\quad {}=P(7)=a, \end{aligned}$ y $\begin{aligned} &P(2)=P(4)=P(6) \\ &\quad {}=P(8)=-a. \end{aligned}$ ¿Cuál es el menor valor posible de $a$ ?

Let $a\gt0,$ and let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that $\begin{aligned} &P(1)=P(3)=P(5) \\ &\quad {}=P(7)=a, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} &P(2)=P(4)=P(6) \\ &\quad {}=P(8)=-a. \end{aligned}$ What is the smallest possible value of $a?$

$105$

$315$

$945$

$7!$

$8!$

Solución:

Como $1, 3, 5, 7$ son raíces de $P(x)-a,$ escribe $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ con $Q$ teniendo coeficientes enteros.

Evaluando en $x=2, 4, 6, 8$ (donde $P=-a$ ) se obtiene $\begin{aligned} -2a &=-15\,Q(2) \\ &=9\,Q(4) \\ &=-15\,Q(6) \\ &=105\,Q(8). \end{aligned}$

Así que $15, 9,$ y $105$ dividen todos a $2a,$ por lo que $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ divide a $2a.$ Como $315$ es impar, $315\mid a,$ así que $a\ge315.$

El valor $a=315$ es alcanzable, así que el menor es $315.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $1, 3, 5, 7$ are roots of $P(x)-a,$ write $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ with $Q$ having integer coefficients.

Evaluating at $x=2, 4, 6, 8$ (where $P=-a$ ) gives $\begin{aligned} -2a &=-15\,Q(2) \\ &=9\,Q(4) \\ &=-15\,Q(6) \\ &=105\,Q(8). \end{aligned}$

So $15, 9,$ and $105$ all divide $2a,$ hence $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ divides $2a.$ Since $315$ is odd, $315\mid a,$ so $a\ge315.$

The value $a=315$ is attainable, so the smallest is $315.$

Thus, the correct answer is B.

2010 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años