Question

¿Cuántas ternas ordenadas de enteros $(a, b, c),$ con $a \ge 2,$ $b \ge 1,$ y $c \ge 0,$ satisfacen a la vez $\log_a b = c^{2005}$ y $a + b + c = 2005$ ?

How many ordered triples of integers $(a, b, c),$ with $a \ge 2,$ $b \ge 1,$ and $c \ge 0,$ satisfy both $\log_a b = c^{2005}$ and $a + b + c = 2005?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

La condición $\log_a b = c^{2005}$ significa $b = a^{\left(c^{2005}\right)}.$

Si $c \ge 2,$ entonces $b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)},$ lo que supera enormemente a $2005,$ así que $a + b + c = 2005$ es imposible.

Para $c = 0:$ $b = a^0 = 1,$ así que $a + 1 + 0 = 2005$ da $(a, b, c) = (2004, 1, 0).$ Para $c = 1:$ $b = a^1 = a,$ así que $2a + 1 = 2005$ da $(a, b, c) = (1002, 1002, 1).$

Hay $2$ ternas así.

Así, la respuesta correcta es C.

The condition $\log_a b = c^{2005}$ means $b = a^{\left(c^{2005}\right)}.$

If $c \ge 2,$ then $b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)},$ which vastly exceeds $2005,$ so $a + b + c = 2005$ is impossible.

For $c = 0:$ $b = a^0 = 1,$ so $a + 1 + 0 = 2005$ gives $(a, b, c) = (2004, 1, 0).$ For $c = 1:$ $b = a^1 = a,$ so $2a + 1 = 2005$ gives $(a, b, c) = (1002, 1002, 1).$

There are $2$ such triples.

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años