Si f((x)/(x-1))=\frac1x para todo x\notin\0,1\, y 0\lt\theta\lt(π)/(2), entonces f(\sec^2\theta)=

1991 AMC 12 Problema 21 — Solución

1991 AMC 12 Problema 21

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21.

Si $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x$ para todo $x\notin\{0,1\},$ y $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},$ entonces $f(\sec^2\theta)=$

If $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x$ for all $x\notin\{0,1\},$ and $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},$ then $f(\sec^2\theta)=$

$\sin^2\theta$

$\cos^2\theta$

$\tan^2\theta$

$\cot^2\theta$

$\csc^2\theta$

Respuesta: A

Conceptos:function substitution identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Elige $x$ de modo que $\frac{1}{x}=\sec^2\theta$

Choose $x$ so that $\frac{1}{x}=\sec^2\theta$

Pista grande:

Usa $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$

Use $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$

Solución:

Como $\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1},$ elige $x=\csc^2\theta$ en la definición. Entonces $f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1},$ choose $x=\csc^2\theta$ in the definition. Then $f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta.$

Thus the correct answer is A.

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