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1991 AMC 12 Problema 22

Intenta el Problema 22 del 1991 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1991 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Dos círculos son tangentes exteriormente. Las rectas PABPAB y PA′B′PA'B' son tangentes comunes, con AA y A′A' en el círculo menor y BB y B′B' en el mayor. Si PA=AB=4,PA=AB=4, entonces el área del círculo menor es

Two circles are externally tangent. Lines PABPAB and PA′B′PA'B' are common tangents with AA and A′A' on the smaller circle and BB and B′B' on the larger circle. If PA=AB=4,PA=AB=4, then the area of the smaller circle is

1.44π1.44\pi

2π2\pi

2.56π2.56\pi

8π\sqrt8\pi

4π4\pi

Respuesta: B
Conceptos:circunferencias tangenteshomoteciapotencia de un punto
Nivel de dificultad: 2160
Pista pequeña:

Los dos círculos están relacionados por una homotecia con centro en PP

The two circles are related by a dilation centered at PP

Pista grande:

Usa PA=4,PA=4, PB=8PB=8 para hallar la razón de homotecia y luego aplica la relación de la tangente al círculo menor

Use PA=4,PA=4, PB=8PB=8 to find the dilation ratio, then apply the tangent-length relation to the smaller circle

Solución:

Como PA=4PA=4 y AB=4,AB=4, tenemos PB=8.PB=8. Por lo tanto, la homotecia con centro en PP que lleva el círculo menor al mayor tiene razón 2.2. Si el radio menor es r,r, su centro está a 3r3r de P:P: los centros están sobre el mismo rayo, sus distancias a PP tienen razón 2,2, y su diferencia es r+2r=3r.r+2r=3r. Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por P,P, el centro del círculo menor y AA, PA2=(3r)2−r2=8r2. PA^2=(3r)^2-r^2=8r^2. Así, 16=8r2,16=8r^2, por lo que r2=2r^2=2 y el área es 2π.2\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since PA=4PA=4 and AB=4,AB=4, we have PB=8.PB=8. The homothety centered at PP taking the smaller circle to the larger therefore has ratio 2.2. If the smaller radius is r,r, its center is 3r3r from P:P: the centers are on the same ray, their distances from PP have ratio 2,2, and their difference is r+2r=3r.r+2r=3r. Applying the right triangle formed by P,P, the small center, and AA, PA2=(3r)2−r2=8r2. PA^2=(3r)^2-r^2=8r^2. Thus 16=8r2,16=8r^2, so r2=2r^2=2 and the area is 2π.2\pi.

Thus the correct answer is B.

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