Question

En el rectángulo $ABCD,$ los puntos $F$ y $G$ están sobre $\overline{AB}$ de modo que $AF = FG = GB$ y $E$ es el punto medio de $\overline{DC}.$ Además, $\overline{AC}$ corta a $\overline{EF}$ en $H$ y a $\overline{EG}$ en $J.$ El área del rectángulo $ABCD$ es $70.$ Halla el área del triángulo $EHJ.$

In rectangle $ABCD,$ points $F$ and $G$ lie on $\overline{AB}$ so that $AF = FG = GB$ and $E$ is the midpoint of $\overline{DC}.$ Also, $\overline{AC}$ intersects $\overline{EF}$ at $H$ and $\overline{EG}$ at $J.$ The area of rectangle $ABCD$ is $70.$ Find the area of triangle $EHJ.$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{35}{12}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{35}{8}$

Solución:

El triángulo $EFG$ tiene base $FG = \dfrac{1}{3}AB$ y altura igual a la altura del rectángulo, así que su área es $\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}.$

Como $EC \parallel AF,$ los triángulos $AFH$ y $CEH$ son semejantes con razón $\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2},$ así que $\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}.$ De la misma manera $\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}.$

Entonces $\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}$ $= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}$ $= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}$ $= \dfrac{9}{35},$ dando $[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Triangle $EFG$ has base $FG = \dfrac{1}{3}AB$ and height equal to the rectangle's height, so its area is $\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}.$

Because $EC \parallel AF,$ triangles $AFH$ and $CEH$ are similar with ratio $\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2},$ so $\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}.$ Likewise $\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}.$

Then $\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}$ $= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}$ $= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}$ $= \dfrac{9}{35},$ giving $[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.$

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años