Question

Azar y Carl juegan una partida de tres en raya. Azar coloca una $X$ en una de las casillas de un arreglo de casillas de $3$ por $3$ , luego Carl coloca una $O$ en una de las casillas restantes. Después de eso, Azar coloca una $X$ en una de las casillas restantes, y así sucesivamente hasta que las $9$ casillas estén llenas o uno de los jugadores tenga $3$ de sus símbolos en una línea (horizontal, vertical o diagonal), lo que ocurra primero, en cuyo caso ese jugador gana la partida. Supón que los jugadores hacen sus jugadas al azar, en lugar de intentar seguir una estrategia racional, y que Carl gana la partida cuando coloca su tercera $O.$ ¿De cuántas maneras puede verse el tablero después de que la partida termina?

Azar and Carl play a game of tic-tac-toe. Azar places an $X$ in one of the boxes in a $3$ -by- $3$ array of boxes, then Carl places an $O$ in one of the remaining boxes. After that, Azar places an $X$ in one of the remaining boxes, and so on until all $9$ boxes are filled or one of the players has $3$ of their symbols in a row — horizontal, vertical, or diagonal — whichever comes first, in which case that player wins the game. Suppose the players make their moves at random, rather than trying to follow a rational strategy, and that Carl wins the game when he places his third $O.$ How many ways can the board look after the game is over?

$36$

$112$

$120$

$148$

$160$

Solución:

Carl gana con su tercera $O,$ así que el tablero tiene tres $O$ formando una de las $8$ líneas y tres $X$ en las otras seis casillas. Las $X$ no deben formar una línea (de lo contrario, Azar habría ganado primero).

Si la línea de $O$ es una fila o columna ( $6$ opciones), las seis casillas restantes contienen dos líneas completas, así que las colocaciones válidas de $X$ suman $\binom{6}{3} - 2 = 18.$ Si la línea de $O$ es una diagonal ( $2$ opciones), las seis casillas restantes no contienen ninguna línea completa, dando $\binom{6}{3} = 20.$

El total es $6\cdot 18 + 2\cdot 20 = 108 + 40 = 148.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Carl wins on his third $O,$ so the board has three $O$ s forming one of the $8$ lines and three $X$ s in the other six cells. The $X$ s must not form a line (else Azar would have won first).

If the $O$ line is a row or column ( $6$ choices), the remaining six cells contain two full lines, so valid $X$ placements number $\binom{6}{3} - 2 = 18.$ If the $O$ line is a diagonal ( $2$ choices), the remaining six cells contain no full line, giving $\binom{6}{3} = 20.$

The total is $6\cdot 18 + 2\cdot 20 = 108 + 40 = 148.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años