Question

La hormiga Amelia comienza en la recta numérica en $0$ y se arrastra de la siguiente manera. Para $n = 1, 2, 3,$ Amelia elige una duración de tiempo $t_n$ y un incremento $x_n$ de forma independiente y uniforme al azar del intervalo $(0, 1).$ Durante el $n$ -ésimo paso del proceso, Amelia se mueve $x_n$ unidades en la dirección positiva, empleando $t_n$ minutos. Si el tiempo total transcurrido ha superado $1$ minuto durante el $n$ -ésimo paso, se detiene al final de ese paso; de lo contrario, continúa con el siguiente paso, dando a lo sumo $3$ pasos en total. ¿Cuál es la probabilidad de que la posición de Amelia cuando se detenga sea mayor que $1$ ?

Ant Amelia starts on the number line at $0$ and crawls in the following manner. For $n = 1, 2, 3,$ Amelia chooses a time duration $t_n$ and an increment $x_n$ independently and uniformly at random from the interval $(0, 1).$ During the $n$ th step of the process, Amelia moves $x_n$ units in the positive direction, using up $t_n$ minutes. If the total elapsed time has exceeded $1$ minute during the $n$ th step, she stops at the end of that step; otherwise, she continues with the next step, taking at most $3$ steps in all. What is the probability that Amelia's position when she stops will be greater than $1?$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

$\dfrac56$

Solución:

Como cada $t_n \lt 1,$ Amelia siempre completa al menos dos pasos. Se detiene tras exactamente dos pasos cuando $t_1 + t_2 \gt 1,$ lo que ocurre con probabilidad $\tfrac12;$ de lo contrario da los tres pasos.

Los incrementos son independientes de los tiempos. Si da dos pasos, su posición es $x_1 + x_2,$ y $P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12.$ Si da tres, su posición es $x_1 + x_2 + x_3,$ y $P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1)$ $= 1 - \tfrac16 = \tfrac56.$

La respuesta es $\tfrac12 \cdot \tfrac12 + \tfrac12 \cdot \tfrac56 = \tfrac14 + \tfrac{5}{12} = \tfrac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because each $t_n \lt 1,$ Amelia always completes at least two steps. She stops after exactly two steps when $t_1 + t_2 \gt 1,$ which happens with probability $\tfrac12;$ otherwise she takes all three steps.

The increments are independent of the times. If she takes two steps, her position is $x_1 + x_2,$ and $P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12.$ If she takes three, her position is $x_1 + x_2 + x_3,$ and $P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1)$ $= 1 - \tfrac16 = \tfrac56.$

The answer is $\tfrac12 \cdot \tfrac12 + \tfrac12 \cdot \tfrac56 = \tfrac14 + \tfrac{5}{12} = \tfrac23.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años