Question

Se eligen tres números reales de forma independiente y uniforme al azar entre $0$ y $1.$ ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor de estos tres números sea mayor que $2$ veces cada uno de los otros dos números? (En otras palabras, si los números elegidos son $a \ge b \ge c,$ entonces $a \gt 2b.$ )

Three real numbers are chosen independently and uniformly at random between $0$ and $1.$ What is the probability that the greatest of these three numbers is greater than $2$ times each of the other two numbers? (In other words, if the chosen numbers are $a \ge b \ge c,$ then $a \gt 2b.$ )

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad geométrica cálculo

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Con los estadísticos de orden $x_1 \ge x_2 \ge x_3,$ la densidad conjunta es $6$ en la región $x_1 \gt x_2 \gt x_3$

With order statistics $x_1 \ge x_2 \ge x_3,$ the joint density is $6$ on the region $x_1 \gt x_2 \gt x_3$

Pista grande:

Integra sobre $x_3 \in (0, x_2),$ $x_1 \in (2x_2, 1),$ y $x_2 \in (0, \tfrac{1}{2})$

Integrate over $x_3 \in (0, x_2),$ $x_1 \in (2x_2, 1),$ and $x_2 \in (0, \tfrac{1}{2})$

Solución:

Ordena los valores como $x_1 \gt x_2 \gt x_3$ ; la densidad conjunta de los estadísticos de orden es $6$ en esta región. El evento es $x_1 \gt 2x_2.$

Integrar $x_3$ desde $0$ hasta $x_2$ aporta un factor de $x_2.$ Entonces $\begin{aligned} P &= 6\int_0^{\frac{1}{2}} x_2\int_{2x_2}^{1} dx_1\, dx_2 \\ &= 6\int_0^{\frac{1}{2}} x_2(1 - 2x_2)\, dx_2. \end{aligned}$

Esto es igual a $6\left(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12}\right) = 6 \cdot \dfrac{1}{24} = \dfrac{1}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Order the values as $x_1 \gt x_2 \gt x_3$ ; the joint density of the order statistics is $6$ on this region. The event is $x_1 \gt 2x_2.$

Integrating $x_3$ from $0$ to $x_2$ contributes a factor of $x_2.$ Then $\begin{aligned} P &= 6\int_0^{\frac{1}{2}} x_2\int_{2x_2}^{1} dx_1\, dx_2 \\ &= 6\int_0^{\frac{1}{2}} x_2(1 - 2x_2)\, dx_2. \end{aligned}$

This equals $6\left(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12}\right) = 6 \cdot \dfrac{1}{24} = \dfrac{1}{4}.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12A Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años