Question

Tres esferas mutuamente tangentes de radio $1$ descansan sobre un plano horizontal. Una esfera de radio $2$ descansa sobre ellas. ¿Cuál es la distancia desde el plano hasta la parte superior de la esfera más grande?

Three mutually tangent spheres of radius $1$ rest on a horizontal plane. A sphere of radius $2$ rests on them. What is the distance from the plane to the top of the larger sphere?

$3 + \dfrac{\sqrt{30}}{2}$

$3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}$

$3 + \dfrac{\sqrt{123}}{4}$

$\dfrac{52}{9}$

$3 + 2\sqrt{2}$

Solución:

Sean $A$ , $B$ , $C$ los centros de las tres esferas unitarias, que forman un triángulo equilátero de lado $2$ a una altura $1$ sobre el plano, y sea $E$ el centro de la esfera grande directamente sobre el baricentro $D$ de $\triangle ABC$ .

La distancia desde un vértice al baricentro es $AD = \tfrac{2\sqrt3}{3}$ , y $AE = 1 + 2 = 3$ , así que $\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \tfrac{4}{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}$

Como $D$ está $1$ unidad sobre el plano y la parte superior de la esfera grande está $2$ unidades sobre $E$ , la altura total es $1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the centers of the three unit spheres be $A,$ $B,$ $C,$ forming an equilateral triangle of side $2$ at height $1$ above the plane, and let $E$ be the center of the large sphere directly above the centroid $D$ of $\triangle ABC.$

The distance from a vertex to the centroid is $AD = \tfrac{2\sqrt3}{3},$ and $AE = 1 + 2 = 3,$ so $\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \tfrac{4}{3}} \\ &= \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}$

Since $D$ is $1$ unit above the plane and the top of the large sphere is $2$ units above $E,$ the total height is $1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años