Question

Un insecto viaja de $A$ a $B$ a lo largo de los segmentos de la retícula hexagonal que se muestra abajo. Los segmentos marcados con una flecha solo pueden recorrerse en la dirección de la flecha, y el insecto nunca recorre el mismo segmento más de una vez. ¿Cuántos caminos diferentes hay?

A bug travels from $A$ to $B$ along the segments in the hexagonal lattice pictured below. The segments marked with an arrow can be traveled only in the direction of the arrow, and the bug never travels the same segment more than once. How many different paths are there?

$2112$

$2304$

$2368$

$2384$

$2400$

Respuesta: E

Conceptos:análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Hay tres segmentos “de retroceso” que apuntan a la izquierda; divide en casos según qué subconjunto de ellos usa el camino

There are three left-pointing “back” segments; split into cases by which subset of them the path uses

Pista grande:

Sin usar ningún segmento de retroceso, el camino elige un segmento hacia adelante por columna, lo que da $2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\cdot2=2^{10}$

With no back segment used, the path picks one forward segment per column, giving $2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\cdot2=2^{10}$

Solución:

Etiqueta las siete columnas de segmentos hacia adelante (hacia la derecha); un camino sin segmento de retroceso simplemente elige un segmento hacia adelante en cada columna. Los números de opciones son $2,2,4,4,4,2,2,$ lo que da $2^{10}$ caminos.

Sean $s_1,s_2,s_3$ los tres segmentos de retroceso que apuntan a la izquierda (en las columnas $2,4,6$ ). Analizar qué columnas quedan forzadas una vez que se recorre un segmento de retroceso da $2^8$ caminos para cada uno de $\{s_1\}$ y $\{s_3\},$ $2^6$ para $\{s_1,s_3\},$ $2^9$ para $\{s_2\},$ $2^7$ para cada uno de $\{s_1,s_2\}$ y $\{s_2,s_3\},$ y $2^5$ para $\{s_1,s_2,s_3\}.$

Sumando, $\begin{aligned} &2^{10}+2\cdot2^8+2^6 \\ &\quad {}+2^9+2\cdot2^7+2^5=2400. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Label the seven columns of forward (rightward) segments; a path with no back segment simply chooses one forward segment in each column. The numbers of choices are $2,2,4,4,4,2,2,$ giving $2^{10}$ paths.

Let $s_1,s_2,s_3$ be the three left-pointing back segments (in columns $2,4,6$ ). Analyzing which columns become forced once a back segment is traversed gives $2^8$ paths for each of $\{s_1\}$ and $\{s_3\},$ $2^6$ for $\{s_1,s_3\},$ $2^9$ for $\{s_2\},$ $2^7$ for each of $\{s_1,s_2\}$ and $\{s_2,s_3\},$ and $2^5$ for $\{s_1,s_2,s_3\}.$

Adding, $\begin{aligned} &2^{10}+2\cdot2^8+2^6 \\ &\quad {}+2^9+2\cdot2^7+2^5=2400. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12B Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años