Question

Seis sillas están espaciadas uniformemente alrededor de una mesa circular. Una persona está sentada en cada silla. Cada persona se levanta y se sienta en una silla que no es la misma silla y no es adyacente a la silla que ocupaba originalmente, de modo que de nuevo una persona queda sentada en cada silla. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Six chairs are evenly spaced around a circular table. One person is seated in each chair. Each person gets up and sits down in a chair that is not the same chair and is not adjacent to the chair he or she originally occupied, so that again one person is seated in each chair. In how many ways can this be done?

$14$

$16$

$18$

$20$

$24$

Solución:

Primero imagina que todos se mueven a la silla directamente opuesta. La condición se convierte en: cada persona debe sentarse en la misma silla o en una adyacente. El número de personas que conservan su asiento debe ser par (de lo contrario un hueco de longitud impar no puede llenarse).

Si $0$ conservan su asiento, todos se desplazan a la izquierda, a la derecha, o intercambian con un vecino: $4$ formas. Si $2$ conservan sus asientos, esos dos son opuestos o adyacentes, dando $3 + 6 = 9$ formas, con el resto forzado. Si $4$ conservan sus asientos, hay $6$ formas de elegirlos y los otros dos intercambian. Si los $6$ se quedan, $1$ forma. El total es $4 + 9 + 6 + 1 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

First imagine everyone moves to the chair directly opposite. The condition becomes: each person must sit in the same chair or an adjacent one. The number of people who keep their seat must be even (otherwise an odd-length gap cannot be filled).

If $0$ keep their seat, everyone shifts left, shifts right, or swaps with a neighbor: $4$ ways. If $2$ keep their seats, those two are opposite or adjacent, giving $3 + 6 = 9$ ways, with the rest forced. If $4$ keep their seats, there are $6$ ways to choose them and the other two swap. If all $6$ stay, $1$ way. The total is $4 + 9 + 6 + 1 = 20.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años