Question

Seis sillas están espaciadas uniformemente alrededor de una mesa circular. Una persona está sentada en cada silla. Cada persona se levanta y se sienta en una silla que no es la misma silla y no es adyacente a la silla que ocupaba originalmente, de modo que de nuevo una persona queda sentada en cada silla. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Six chairs are evenly spaced around a circular table. One person is seated in each chair. Each person gets up and sits down in a chair that is not the same chair and is not adjacent to the chair he or she originally occupied, so that again one person is seated in each chair. In how many ways can this be done?

$14$

$16$

$18$

$20$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:arreglos circulares análisis por casos

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Reetiqueta de modo que cada persona deba quedarse en su lugar o moverse a una silla adyacente

Relabel so that each person must stay put or move to an adjacent chair

Pista grande:

El número de personas que conservan su asiento (reetiquetado) debe ser par: $0,$ $2,$ $4,$ o $6$

The number of people who keep their (relabeled) seat must be even: $0,$ $2,$ $4,$ or $6$

Solución:

Primero imagina que todos se mueven a la silla directamente opuesta. La condición se convierte en: cada persona debe sentarse en la misma silla o en una adyacente. El número de personas que conservan su asiento debe ser par (de lo contrario un hueco de longitud impar no puede llenarse).

Si $0$ conservan su asiento, todos se desplazan a la izquierda, a la derecha, o intercambian con un vecino: $4$ formas. Si $2$ conservan sus asientos, esos dos deben ser opuestos o adyacentes, lo que da $3+6=9$ elecciones, y las demás personas quedan forzadas a intercambiarse en parejas adyacentes. Si $4$ conservan sus asientos, los otros dos deben ocupar asientos adyacentes e intercambiarse, lo que da $6$ elecciones. Si los $6$ se quedan, hay $1$ forma. El total es $4+9+6+1=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

First imagine everyone moves to the chair directly opposite. The condition becomes: each person must sit in the same chair or an adjacent one. The number of people who keep their seat must be even (otherwise an odd-length gap cannot be filled).

If $0$ keep their seat, everyone shifts left, shifts right, or swaps with a neighbor: $4$ ways. If $2$ keep their seats, those two must be opposite or adjacent, giving $3+6=9$ choices, and the remaining people are forced to swap in adjacent pairs. If $4$ keep their seats, the other two must occupy adjacent seats and swap, giving $6$ choices. If all $6$ stay, there is $1$ way. The total is $4+9+6+1=20.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B Problema 22

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años