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2008 AMC 12A Problema 22

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 22 del 2008 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:círculotriángulo isóscelesTeorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2120

22.

Una mesa redonda tiene radio 4.4. Se colocan seis manteles individuales rectangulares sobre la mesa. Cada mantel tiene ancho 11 y largo xx como se muestra. Se colocan de modo que cada mantel tenga dos esquinas en el borde de la mesa, siendo estas dos esquinas los extremos del mismo lado de largo x.x. Además, los manteles se colocan de modo que las esquinas interiores toquen cada una una esquina interior de un mantel adyacente. ¿Cuánto vale xx?

A round table has radius 4.4. Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width 11 and length xx as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being endpoints of the same side of length x.x. Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is x?x?

25−32\sqrt{5} - \sqrt{3}

33

37−32\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}

232\sqrt{3}

5+232\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}

Solución:

Tomemos un mantel con esquinas exteriores PP y Q,Q, y sea RR el punto del borde de la mesa diametralmente opuesto a P.P. Entonces PR=8PR = 8 es un diámetro, así que △PQR\triangle PQR tiene un ángulo recto en Q,Q, con PQ=x.PQ = x.

A lo largo de QR,QR, las esquinas interiores de manteles vecinos se encuentran en un triángulo isósceles con dos lados de longitud xx y ángulo en el vértice 120∘,120^\circ, cuya base es 3 x.\sqrt{3}\,x. Por lo tanto QR=3 x+2.QR = \sqrt{3}\,x + 2.

El Teorema de Pitágoras da x2+(3 x+2)2=64, x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64, que se simplifica a x2+3 x−15=0.x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.

Tomando la raíz positiva, x=−3+632=37−32. x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Take one mat with outer corners PP and Q,Q, and let RR be the point of the table's edge diametrically opposite P.P. Then PR=8PR = 8 is a diameter, so △PQR\triangle PQR has a right angle at Q,Q, with PQ=x.PQ = x.

Along QR,QR, the inner corners of neighboring mats meet in an isosceles triangle with two sides of length xx and vertex angle 120∘,120^\circ, whose base is 3 x.\sqrt{3}\,x. Hence QR=3 x+2.QR = \sqrt{3}\,x + 2.

The Pythagorean Theorem gives x2+(3 x+2)2=64, x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64, which simplifies to x2+3 x−15=0.x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.

Taking the positive root, x=−3+632=37−32. x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.

Thus, C is the correct answer.

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El Problema 22 en otros años

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