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2008 AMC 12A Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2008 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Una mesa redonda tiene radio 4.4. Se colocan seis manteles individuales rectangulares sobre la mesa. Cada mantel tiene ancho 11 y largo xx como se muestra. Se colocan de modo que cada mantel tenga dos esquinas en el borde de la mesa, siendo estas dos esquinas los extremos del mismo lado de largo x.x. Además, los manteles se colocan de modo que las esquinas interiores toquen cada una una esquina interior de un mantel adyacente. ¿Cuánto vale xx?

A round table has radius 4.4. Six rectangular place mats are placed on the table. Each place mat has width 11 and length xx as shown. They are positioned so that each mat has two corners on the edge of the table, these two corners being endpoints of the same side of length x.x. Further, the mats are positioned so that the inner corners each touch an inner corner of an adjacent mat. What is x?x?

25−32\sqrt{5} - \sqrt{3}

33

37−32\dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}

232\sqrt{3}

5+232\dfrac{5 + 2\sqrt{3}}{2}

Respuesta: C
Conceptos:círculotriángulo isóscelesTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 2120
Pista pequeña:

Para un mantel, sean P,QP, Q sus esquinas exteriores y RR el punto diametralmente opuesto a P;P; entonces △PQR\triangle PQR es rectángulo con PR=8PR = 8.

For one mat, let P,QP, Q be its outer corners and RR the point diametrically opposite P;P; then △PQR\triangle PQR is right-angled with PR=8PR = 8

Pista grande:

Las esquinas interiores forman triángulos isósceles con ángulo en el vértice 120∘,120^\circ, aportando un segmento de longitud 3 x\sqrt{3}\,x.

The inner corners form isosceles triangles with vertex angle 120∘,120^\circ, contributing a segment of length 3 x\sqrt{3}\,x

Solución:

Tomemos un mantel con esquinas exteriores PP y Q,Q, y sea RR el punto del borde de la mesa diametralmente opuesto a P.P. Entonces PR=8PR = 8 es un diámetro, así que △PQR\triangle PQR tiene un ángulo recto en Q,Q, con PQ=x.PQ = x.

A lo largo de QR,QR, las esquinas interiores de manteles vecinos se encuentran en un triángulo isósceles con dos lados de longitud xx y ángulo en el vértice 120∘,120^\circ, cuya base es 3 x.\sqrt{3}\,x. Por lo tanto QR=3 x+2.QR = \sqrt{3}\,x + 2.

El Teorema de Pitágoras da x2+(3 x+2)2=64, x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64, que se simplifica a x2+3 x−15=0.x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.

Tomando la raíz positiva, x=−3+632=37−32. x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Take one mat with outer corners PP and Q,Q, and let RR be the point of the table’s edge diametrically opposite P.P. Then PR=8PR = 8 is a diameter, so △PQR\triangle PQR has a right angle at Q,Q, with PQ=x.PQ = x.

Along QR,QR, the inner corners of neighboring mats meet in an isosceles triangle with two sides of length xx and vertex angle 120∘,120^\circ, whose base is 3 x.\sqrt{3}\,x. Hence QR=3 x+2.QR = \sqrt{3}\,x + 2.

The Pythagorean Theorem gives x2+(3 x+2)2=64, x^2 + \left(\sqrt{3}\,x + 2\right)^2 = 64, which simplifies to x2+3 x−15=0.x^2 + \sqrt{3}\,x - 15 = 0.

Taking the positive root, x=−3+632=37−32. x = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{63}}{2} = \dfrac{3\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}.

Thus, C is the correct answer.

Problema 21#21
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Problema 23#23

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