Question

Sea $f$ la única función definida sobre los enteros positivos tal que $\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1$ para todo entero positivo $n,$ donde la suma se toma sobre todos los divisores positivos de $n.$ ¿Cuánto vale $f(2023)$ ?

Let $f$ be the unique function defined on the positive integers such that $\sum_{d\mid n} d\cdot f\left(\frac{n}{d}\right)=1$ for all positive integers $n,$ where the sum is taken over all positive divisors of $n.$ What is $f(2023)?$

$-1536$

$96$

$108$

$116$

$144$

Respuesta: B

Conceptos:factorización en primos recursión

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

La relación determina $f$ de forma recursiva; $f$ resulta ser multiplicativa

The relation determines $f$ recursively; $f$ turns out to be multiplicative

Pista grande:

Calcula $f(1)=1,$ $f(p)=1-p,$ y $f(p^2)=1-p;$ aquí $2023=7\cdot 17^2$

Compute $f(1)=1,$ $f(p)=1-p,$ and $f(p^2)=1-p;$ here $2023=7\cdot 17^2$

Solución:

Poner $n=1$ da $f(1)=1.$ Para un primo $p,$ $n=p$ da $f(p)+p\cdot f(1)=1,$ así que $f(p)=1-p.$ Para $n=p^2,$ $f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1$ da $f(p^2)=1-p.$

Como la relación que la define es una convolución de Dirichlet de funciones multiplicativas, $f$ es multiplicativa. Con $2023=7\cdot 17^2,$ $\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Setting $n=1$ gives $f(1)=1.$ For a prime $p,$ $n=p$ gives $f(p)+p\cdot f(1)=1,$ so $f(p)=1-p.$ For $n=p^2,$ $f(p^2)+p\,f(p)+p^2 f(1)=1$ gives $f(p^2)=1-p.$

Since the defining relation is a Dirichlet convolution of multiplicative functions, $f$ is multiplicative. With $2023=7\cdot 17^2,$ $\begin{gathered} f(2023)=f(7)\cdot f(17^2)\\ {}=(1-7)(1-17)\\ {}=(-6)(-16)\\ {}=96. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A Problema 22

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años