Question

¿Cuál es el valor máximo de

$\frac{(2^t - 3t)\,t}{4^t}$

para valores reales de $t$ ?

What is the maximum value of

$\frac{(2^t - 3t)\,t}{4^t}$

for real values of $t?$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{15}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac19$

Solución:

Separa la fracción: $\dfrac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \dfrac{t}{2^t} - \dfrac{3t^2}{4^t}.$ Sea $u = \dfrac{t}{2^t},$ así que $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$ y la expresión es $u - 3u^2.$

Esta parábola tiene su máximo en $u = \tfrac16,$ con valor $\tfrac16 - 3\cdot\tfrac1{36} = \tfrac1{12}.$ Como $u = \tfrac{t}{2^t}$ es continua y alcanza el valor $\tfrac16,$ el máximo se alcanza.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Split the fraction: $\dfrac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \dfrac{t}{2^t} - \dfrac{3t^2}{4^t}.$ Let $u = \dfrac{t}{2^t},$ so $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$ and the expression is $u - 3u^2.$

This parabola has maximum at $u = \tfrac16,$ with value $\tfrac16 - 3\cdot\tfrac1{36} = \tfrac1{12}.$ Since $u = \tfrac{t}{2^t}$ is continuous and attains the value $\tfrac16,$ the maximum is achieved.

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años