Question

El conjunto de todas las soluciones reales de la desigualdad $|x-1|+|x+2|\lt5$ es

The set of all real solutions of the inequality $|x-1|+|x+2|\lt5$ is

$\{x:-3\lt x\lt2\}$

$\{x:-1\lt x\lt2\}$

$\{x:-2\lt x\lt1\}$

$\left\{x:-\dfrac32\lt x\lt\dfrac72\right\}$

$\varnothing$ (vacío)

$\varnothing$ (empty)

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto desigualdad

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Interpreta los dos valores absolutos como las distancias de $x$ a $1$ y a $-2$

Interpret the two absolute values as the distances from $x$ to $1$ and to $-2$

Pista grande:

Entre $-2$ y $1$ la suma es constante; fuera de ese intervalo aumenta en el doble de la distancia al extremo más cercano

Between $-2$ and $1$ the sum is constant; outside that interval it increases by twice the distance from the nearer endpoint

Solución:

Para $-2\le x\le1,$ la suma de las distancias de $x$ a $-2$ y $1$ es $3.$ Si $x$ está a una distancia $u$ fuera de este intervalo, la suma es $3+2u.$ Así, $3+2u\lt5 \quad\Longleftrightarrow\quad u\lt1.$ Al extender el intervalo $[-2,1]$ en $1$ por cada extremo se obtiene $-3\lt x\lt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For $-2\le x\le1,$ the sum of the distances from $x$ to $-2$ and $1$ is $3.$ If $x$ lies a distance $u$ outside this interval, the sum is $3+2u.$ Thus $3+2u\lt5 \quad\Longleftrightarrow\quad u\lt1.$ Extending the interval $[-2,1]$ by $1$ at each end gives $-3\lt x\lt2.$

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 Problema 22

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años