Question

El número de conjuntos de dos o más enteros positivos consecutivos cuya suma es $100$ es

The number of sets of two or more consecutive positive integers whose sum is $100$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética factor paridad enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Si hay $k$ términos que comienzan con $a,$ duplica la suma para obtener $200=k(2a+k-1)$

If there are $k$ terms beginning with $a,$ double the sum to obtain $200=k(2a+k-1)$

Pista grande:

Examina los divisores $k\lt\sqrt{200}$ y exige que $a$ sea un entero positivo

Check divisors $k\lt\sqrt{200}$ and enforce that $a$ is a positive integer

Solución:

Para $k\ge2$ enteros positivos consecutivos que comienzan con $a,$ $200=k(2a+k-1).$ La positividad da $k\lt\sqrt{200},$ así que los posibles divisores $k$ de $200$ son $2,4,5,8,10.$ De $2a=\frac{200}{k}-k+1,$ solo $k=5$ y $k=8$ producen lados derechos positivos y pares. Dan los conjuntos $18,19,20,21,22$ y $9,10,\ldots,16.$ Por lo tanto, hay $2$ conjuntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $k\ge2$ consecutive positive integers starting at $a,$ $200=k(2a+k-1).$ Positivity gives $k\lt\sqrt{200},$ so the possible divisors $k$ of $200$ are $2,4,5,8,10.$ From $2a=\frac{200}{k}-k+1,$ only $k=5$ and $k=8$ give positive even right-hand sides. They yield the sets $18,19,20,21,22$ and $9,10,\ldots,16.$ Hence there are $2$ sets.

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años