Question

Sea $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son números complejos. Supón que $\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}$ ¿Cuál es el número de ceros no reales de $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c$ ?

Let $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are complex numbers. Suppose that $\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}$ What is the number of nonreal zeros of $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:polinomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Nota que $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$ .

Notice that $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$

Pista grande:

Así que los ceros satisfacen $x^4 = 2009 + 9002\pi i,$ $x^4 = 2009,$ o $x^4 = 9002;$ cuenta las raíces cuartas no reales.

So the zeros satisfy $x^4 = 2009 + 9002\pi i,$ $x^4 = 2009,$ or $x^4 = 9002;$ count the nonreal fourth roots

Solución:

Como $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),$ un valor es un cero exactamente cuando $x^4$ es igual a una de las raíces de $p,$ a saber $2009 + 9002\pi i,$ $2009,$ o $9002.$

La ecuación $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ tiene cuatro raíces no reales distintas. Cada una de $x^4 = 2009$ y $x^4 = 9002$ tiene dos raíces reales y dos raíces no reales.

Así que los ceros no reales suman $4 + 2 + 2 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),$ a value is a zero exactly when $x^4$ equals one of the roots of $p,$ namely $2009 + 9002\pi i,$ $2009,$ or $9002.$

The equation $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ has four distinct nonreal roots. Each of $x^4 = 2009$ and $x^4 = 9002$ has two real roots and two nonreal roots.

So the nonreal zeros number $4 + 2 + 2 = 8.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12A Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años