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2003 AMC 12B Problema 21

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 21 del 2003 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:ley de los cosenosprobabilidad geométricatrigonometría

Nivel de dificultad: 1910

21.

Un objeto se mueve 88 cm en línea recta de AA a B,B, gira un ángulo α,\alpha, medido en radianes y elegido al azar del intervalo (0,π),(0, \pi), y se mueve 55 cm en línea recta hasta C.C. ¿Cuál es la probabilidad de que AC<7AC \lt 7?

An object moves 88 cm in a straight line from AA to B,B, turns at an angle α,\alpha, measured in radians and chosen at random from the interval (0,π),(0, \pi), and moves 55 cm in a straight line to C.C. What is the probability that AC<7?AC \lt 7?

16\dfrac{1}{6}

15\dfrac{1}{5}

14\dfrac{1}{4}

13\dfrac{1}{3}

12\dfrac{1}{2}

Solución:

Sea β=π−α\beta = \pi - \alpha el ángulo interior del △ABC\triangle ABC en B.B. Por la ley de los cosenos, AC2=82+52−2(8)(5)cos⁡β=89−80cos⁡β. \begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}

Entonces AC<7AC \lt 7 significa 89−80cos⁡β<49,89 - 80\cos\beta \lt 49, es decir cos⁡β>12,\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}, es decir β<π3.\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.

Como α\alpha es uniforme en (0,π),(0, \pi), también lo es β.\beta. La probabilidad es π/3π=13. \frac{\pi/3}{\pi} = \frac{1}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let β=π−α\beta = \pi - \alpha be the interior angle of △ABC\triangle ABC at B.B. By the Law of Cosines, AC2=82+52−2(8)(5)cos⁡β=89−80cos⁡β. \begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}

Then AC<7AC \lt 7 means 89−80cos⁡β<49,89 - 80\cos\beta \lt 49, i.e. cos⁡β>12,\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}, i.e. β<π3.\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.

As α\alpha is uniform on (0,π),(0, \pi), so is β.\beta. The probability is π/3π=13. \frac{\pi/3}{\pi} = \frac{1}{3}.

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 21 en otros años

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