Question

La gráfica de $2x^2 + xy + 3y^2$ $- 11x - 20y + 40 = 0$ es una elipse en el primer cuadrante del plano $xy$ . Sean $a$ y $b$ los valores máximo y mínimo de $\dfrac{y}{x}$ sobre todos los puntos $(x, y)$ de la elipse. ¿Cuál es el valor de $a + b$ ?

The graph of $2x^2 + xy + 3y^2$ $- 11x - 20y + 40 = 0$ is an ellipse in the first quadrant of the $xy$ -plane. Let $a$ and $b$ be the maximum and minimum values of $\dfrac{y}{x}$ over all points $(x, y)$ on the ellipse. What is the value of $a + b?$

$3$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{9}{2}$

$2\sqrt{14}$

Respuesta: C

Conceptos:elipse recta tangente Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Los valores extremos de $\dfrac{y}{x}$ provienen de rectas $y = mx$ tangentes a la elipse.

The extreme values of $\dfrac{y}{x}$ come from lines $y = mx$ tangent to the ellipse

Pista grande:

Sustituye $y = mx$ e iguala a cero el discriminante de la cuadrática resultante en $x$ .

Substitute $y = mx$ and set the discriminant of the resulting quadratic in $x$ to zero

Solución:

Las pendientes $a$ y $b$ son los valores de $m$ para los cuales $y = mx$ corta a la elipse en exactamente un punto. Al sustituir se obtiene $\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0. \end{aligned}$ Igualar a cero su discriminante da $-80m^2 + 280m - 199 = 0.$ Por las fórmulas de Vieta, $a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The slopes $a$ and $b$ are the values of $m$ for which $y = mx$ meets the ellipse in exactly one point. Substituting gives $\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0. \end{aligned}$ Setting its discriminant to zero yields $-80m^2 + 280m - 199 = 0.$ By Vieta’s formulas, $a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12B Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años