Question

El rectángulo $ABCD$ tiene área $2006$ . Una elipse de área $2006\pi$ pasa por $A$ y $C$ y tiene sus focos en $B$ y $D$ . ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? (El área de una elipse es $\pi ab$ , donde $2a$ y $2b$ son las longitudes de sus ejes.)

Rectangle $ABCD$ has area $2006.$ An ellipse with area $2006\pi$ passes through $A$ and $C$ and has foci at $B$ and $D.$ What is the perimeter of the rectangle? (The area of an ellipse is $\pi ab,$ where $2a$ and $2b$ are the lengths of its axes.)

$\dfrac{16\sqrt{2006}}{\pi}$

$\dfrac{1003}{4}$

$8\sqrt{1003}$

$6\sqrt{2006}$

$\dfrac{32\sqrt{1003}}{\pi}$

Solución:

Sean $x$ y $y$ los lados del rectángulo. El punto $A$ está en la elipse con focos $B$ y $D$ , así que $x + y = AB + AD = 2a$ . La distancia entre los focos es la diagonal, así que $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}$ .

Entonces $2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ $= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)$ $= 4b^2$ , así que $xy = 2b^2$ . El área da $2b^2 = 2006$ , de donde $b^2 = 1003$ .

El área de la elipse da $\pi ab = 2006\pi$ , así que $ab = 2006$ y $a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}$ .

El perímetro del rectángulo es $2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the rectangle's sides be $x$ and $y.$ Point $A$ is on the ellipse with foci $B$ and $D,$ so $x + y = AB + AD = 2a.$ The distance between the foci is the diagonal, so $\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.$

Then $2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2)$ $= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2)$ $= 4b^2,$ so $xy = 2b^2.$ The area gives $2b^2 = 2006,$ hence $b^2 = 1003.$

The ellipse area gives $\pi ab = 2006\pi,$ so $ab = 2006$ and $a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}.$

The perimeter is $2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años