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2006 AMC 12B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2006 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

El rectángulo ABCDABCD tiene área 2006.2006. Una elipse de área 2006π2006\pi pasa por AA y CC y tiene sus focos en BB y D.D. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? (El área de una elipse es πab,\pi ab, donde 2a2a y 2b2b son las longitudes de sus ejes.)

Rectangle ABCDABCD has area 2006.2006. An ellipse with area 2006π2006\pi passes through AA and CC and has foci at BB and D.D. What is the perimeter of the rectangle? (The area of an ellipse is πab,\pi ab, where 2a2a and 2b2b are the lengths of its axes.)

162006π\dfrac{16\sqrt{2006}}{\pi}

10034\dfrac{1003}{4}

810038\sqrt{1003}

620066\sqrt{2006}

321003π\dfrac{32\sqrt{1003}}{\pi}

Respuesta: C
Conceptos:elipsemanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:

En esta elipse, la suma de las distancias de AA a los focos B,DB, D es igual a la suma de dos lados adyacentes del rectángulo.

For the ellipse, the sum of distances from AA to the foci B,DB, D equals a rectangle diagonal plus a side

Pista grande:

Sean los lados x,y;x, y; entonces x+y=2ax + y = 2a y la diagonal x2+y2=2a2−b2\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.

Let the sides be x,y;x, y; then x+y=2ax + y = 2a and the diagonal x2+y2=2a2−b2\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}

Solución:

Sean xx y yy los lados del rectángulo. El punto AA está en la elipse con focos BB y D,D, así que x+y=AB+AD=2a.x + y = AB + AD = 2a. La distancia entre los focos es la diagonal, así que x2+y2=2a2−b2.\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.

Entonces 2xy=(x+y)2−(x2+y2)2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2) =4a2−(4a2−4b2)= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2) =4b2,= 4b^2, así que xy=2b2.xy = 2b^2. El área da 2b2=2006,2b^2 = 2006, de donde b2=1003.b^2 = 1003.

El área de la elipse da πab=2006π,\pi ab = 2006\pi, así que ab=2006ab = 2006 y a=20061003=21003.a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}.

El perímetro del rectángulo es 2(x+y)=4a=81003.2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the rectangle’s sides be xx and y.y. Point AA is on the ellipse with foci BB and D,D, so x+y=AB+AD=2a.x + y = AB + AD = 2a. The distance between the foci is the diagonal, so x2+y2=2a2−b2.\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{a^2 - b^2}.

Then 2xy=(x+y)2−(x2+y2)2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2) =4a2−(4a2−4b2)= 4a^2 - (4a^2 - 4b^2) =4b2,= 4b^2, so xy=2b2.xy = 2b^2. The area gives 2b2=2006,2b^2 = 2006, hence b2=1003.b^2 = 1003.

The ellipse area gives πab=2006π,\pi ab = 2006\pi, so ab=2006ab = 2006 and a=20061003=21003.a = \dfrac{2006}{\sqrt{1003}} = 2\sqrt{1003}.

The perimeter is 2(x+y)=4a=81003.2(x + y) = 4a = 8\sqrt{1003}.

Thus, the correct answer is C.

Problema 20#20
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Problema 22#22

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