Question

Considere la sucesión de números $4,$ $7,$ $1,$ $8,$ $9,$ $7,$ $6,$ $\ldots$ Para $n \gt 2,$ el $n$ -ésimo término de la sucesión es el dígito de las unidades de la suma de los dos términos anteriores. Sea $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos de esta sucesión. El menor valor de $n$ para el cual $S_n \gt 10{,}000$ es

Consider the sequence of numbers $4,$ $7,$ $1,$ $8,$ $9,$ $7,$ $6,$ $\ldots$ For $n \gt 2,$ the $n$ th term of the sequence is the units digit of the sum of the two previous terms. Let $S_n$ denote the sum of the first $n$ terms of this sequence. The smallest value of $n$ for which $S_n \gt 10{,}000$ is

$1992$

$1999$

$2001$

$2002$

$2004$

Respuesta: B

Conceptos:dígito de las unidades sumatoria reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Escriba los términos hasta que el patrón se repita.

Write out terms until the pattern repeats

Pista grande:

Los primeros $12$ términos suman $60$ y luego se repiten; halle cuántos bloques completos permanecen por debajo de $10{,}000$ .

The first $12$ terms sum to $60$ and then repeat; find how many full blocks stay under $10{,}000$

Solución:

Continuando la sucesión se obtiene $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6,$ $3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots,$ que se repite con período $12.$ Cada bloque de $12$ términos suma $60.$

El mayor $k$ con $60k \le 10{,}000$ es $k = 166,$ dando $S_{12\cdot 166} = 9960.$ Sumando los siguientes términos $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ se aportan $42,$ llevando el total más allá de $10{,}000.$ Así que $n = 12\cdot 166 + 7 = 1999.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Continuing the sequence gives $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6,$ $3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots,$ which repeats with period $12.$ Each block of $12$ terms sums to $60.$

The largest $k$ with $60k \le 10{,}000$ is $k = 166,$ giving $S_{12\cdot 166} = 9960.$ Adding the next terms $4, 7, 1, 8, 9, 7, 6$ contributes $42,$ pushing the total past $10{,}000.$ So $n = 12\cdot 166 + 7 = 1999.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12A Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años