Question

Supongamos que $a_1=2$ y la sucesión $(a_n)$ satisface la relación de recurrencia $\frac{a_n-1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}$ para todo $n\ge2.$ Halla el mayor entero menor o igual que $\sum_{n=1}^{100}a_n^2?$

Suppose that $a_1=2$ and the sequence $(a_n)$ satisfies the recurrence relation $\frac{a_n-1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}$ for all $n\ge2.$ What is the greatest integer less than or equal to $\sum_{n=1}^{100}a_n^2?$

$338{,}550$

$338{,}551$

$338{,}552$

$338{,}553$

$338{,}554$

Solución:

La recurrencia se reordena como $a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(a_{n-1}+1).$ Calcular los primeros términos $2,\tfrac52,\tfrac{10}3,\tfrac{17}4,\ldots$ revela $a_n=n+\tfrac1n,$ lo cual se verifica. Entonces $a_n^2=n^2+2+\tfrac1{n^2},$ así que $\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100}a_n^2 \\ &=\sum_{n=1}^{100}n^2+200 \\ &\quad {}+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2} \\ &=338350+200+S, \end{aligned}$ donde $1\lt S\lt2.$ Por lo tanto la suma está entre $338550$ y $338552,$ y su parte entera es $338551.$ Así que la respuesta correcta es B.

The recurrence rearranges to $a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(a_{n-1}+1).$ Computing early terms $2,\tfrac52,\tfrac{10}3,\tfrac{17}4,\ldots$ reveals $a_n=n+\tfrac1n,$ which checks out. Then $a_n^2=n^2+2+\tfrac1{n^2},$ so $\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100}a_n^2 \\ &=\sum_{n=1}^{100}n^2+200 \\ &\quad {}+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2} \\ &=338350+200+S, \end{aligned}$ where $1\lt S\lt2.$ Hence the sum is between $338550$ and $338552,$ and its floor is $338551.$ Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años