Question

Supongamos que $a_1=2$ y la sucesión $(a_n)$ satisface la relación de recurrencia $\frac{a_n-1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}$ para todo $n\ge2.$ Halla el mayor entero menor o igual que $\sum_{n=1}^{100}a_n^2?$

Suppose that $a_1=2$ and the sequence $(a_n)$ satisfies the recurrence relation $\frac{a_n-1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}$ for all $n\ge2.$ What is the greatest integer less than or equal to $\sum_{n=1}^{100}a_n^2?$

$338{,}550$

$338{,}551$

$338{,}552$

$338{,}553$

$338{,}554$

Respuesta: B

Conceptos:recursión suma de los primeros n cuadrados acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Calcula algunos términos y conjetura la forma cerrada $a_n=n+\dfrac1n$

Compute a few terms and conjecture the closed form $a_n=n+\dfrac1n$

Pista grande:

Entonces $a_n^2=n^2+2+\dfrac1{n^2},$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\dfrac1{n^2}$ está estrictamente entre $1$ y $2$

Then $a_n^2=n^2+2+\dfrac1{n^2},$ and $\displaystyle\sum_{n=1}^{100}\dfrac1{n^2}$ lies strictly between $1$ and $2$

Solución:

La recurrencia se reordena como $a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(a_{n-1}+1).$ Los primeros términos $2,\tfrac52,\tfrac{10}3,\tfrac{17}4,\ldots$ sugieren que $a_n=n+\tfrac1n.$ Esto se demuestra por inducción: al sustituir $a_{n-1}=n-1+\tfrac1{n-1}$ en la recurrencia, se obtiene $a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(n+\tfrac1{n-1})$ $=n+\tfrac1n.$ Entonces $a_n^2=n^2+2+\tfrac1{n^2},$ así que $\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100}a_n^2 \\ &=\sum_{n=1}^{100}n^2+200 \\ &\quad {}+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2} \\ &=338350+200+S, \end{aligned}$ donde $S\gt1$ y $S\lt1+\int_1^\infty x^{-2}\,dx=2.$ Por tanto, la suma está entre $338551$ y $338552,$ y su parte entera es $338551.$ Así, la respuesta correcta es B.

The recurrence rearranges to $a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(a_{n-1}+1).$ Computing early terms $2,\tfrac52,\tfrac{10}3,\tfrac{17}4,\ldots$ suggests $a_n=n+\tfrac1n.$ This follows by induction: substituting $a_{n-1}=n-1+\tfrac1{n-1}$ into the recurrence gives $a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(n+\tfrac1{n-1})$ $=n+\tfrac1n.$ Then $a_n^2=n^2+2+\tfrac1{n^2},$ so $\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100}a_n^2 \\ &=\sum_{n=1}^{100}n^2+200 \\ &\quad {}+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2} \\ &=338350+200+S, \end{aligned}$ where $S\gt1$ and $S\lt1+\int_1^\infty x^{-2}\,dx=2.$ Hence the sum is between $338551$ and $338552,$ and its floor is $338551.$ Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12A Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años