Question

Se circunscribe un círculo a un triángulo con lados $20, 21,$ y $29,$ dividiendo así el interior del círculo en cuatro regiones. Sean $A,$ $B,$ y $C$ las áreas de las regiones no triangulares, siendo $C$ la mayor. Entonces

A circle is circumscribed about a triangle with sides $20, 21,$ and $29,$ thus dividing the interior of the circle into four regions. Let $A,$ $B,$ and $C$ be the areas of the non-triangular regions, with $C$ being the largest. Then

$A + B = C$

$A + B + 210 = C$

$A^2 + B^2 = C^2$

$20A + 21B = 29C$

$\dfrac{1}{A^2} + \dfrac{1}{B^2} = \dfrac{1}{C^2}$

Solución:

Como $20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,$ el triángulo es rectángulo, y su hipotenusa de longitud $29$ es un diámetro del círculo. Así, la mayor región $C$ es el semicírculo de un lado de ese diámetro.

El otro semicírculo consiste en el triángulo junto con las regiones $A$ y $B.$ Como los dos semicírculos son congruentes y el triángulo tiene área $\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,$ obtenemos $A + B + 210 = C.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,$ the triangle is right-angled, and its hypotenuse of length $29$ is a diameter of the circle. Thus the largest region $C$ is the semicircle on one side of that diameter.

The other semicircle consists of the triangle together with regions $A$ and $B.$ Since the two semicircles are congruent and the triangle has area $\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,$ we get $A + B + 210 = C.$

Thus, the correct answer is B.

1999 AMC 12 Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años