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Problemas del 1999 AMC 12

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1.

1−2+3−4+⋯−98+99= ? \begin{aligned} &1 - 2 + 3 - 4 + \cdots - 98 \\ &\quad {}+ 99 = \, ? \end{aligned}
−50-50
−49-49
00
4949
5050
Respuesta: E
Conceptos:sumatoriaemparejamiento y agrupación
Nivel de dificultad: 800
Pista pequeña:
Agrupa los términos en parejas consecutivas.
Group the terms in consecutive pairs
Pista grande:
Cada pareja (2k−1)−2k(2k-1) - 2k es igual a −1-1
Each pair (2k−1)−2k(2k-1) - 2k equals −1-1
Solución:
Al agrupar los términos consecutivos se obtiene (1−2)+(3−4)+⋯+(97−98)+99. \begin{aligned} &(1-2) + (3-4) + \cdots \\ &\quad {}+ (97-98) + 99. \end{aligned} Hay 4949 parejas, cada una igual a −1,-1, así que la suma es −49+99=50.-49 + 99 = 50.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Pairing consecutive terms gives (1−2)+(3−4)+⋯+(97−98)+99. \begin{aligned} &(1-2) + (3-4) + \cdots \\ &\quad {}+ (97-98) + 99. \end{aligned} There are 4949 pairs, each equal to −1,-1, so the sum is −49+99=50.-49 + 99 = 50.
Thus, the correct answer is E.

2.

¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
Which one of the following statements is false?
Todos los triángulos equiláteros son congruentes entre sí.
All equilateral triangles are congruent to each other.
Todos los triángulos equiláteros son convexos.
All equilateral triangles are convex.
Todos los triángulos equiláteros son equiángulos.
All equilateral triangles are equiangular.
Todos los triángulos equiláteros son polígonos regulares.
All equilateral triangles are regular polygons.
Todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí.
All equilateral triangles are similar to each other.
Respuesta: A
Conceptos:triángulo equiláterocongruencia (geometría)semejanza
Nivel de dificultad: 880
Pista pequeña:
Congruente significa la misma forma y el mismo tamaño.
Congruent means the same shape and the same size
Pista grande:
Los triángulos equiláteros pueden tener longitudes de lado diferentes.
Equilateral triangles can have different side lengths
Solución:
Los triángulos equiláteros con longitudes de lado 11 y 22 tienen la misma forma pero distinto tamaño, por lo que son semejantes pero no congruentes. Todo triángulo equilátero es convexo, equiángulo (todos sus ángulos miden 60∘60^\circ) y un polígono regular, así que el único enunciado falso es que todos son congruentes.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Equilateral triangles with side lengths 11 and 22 have the same shape but different sizes, so they are similar but not congruent. Every equilateral triangle is convex, equiangular (all angles 60∘60^\circ), and a regular polygon, so the only false statement is that they are all congruent.
Thus, the correct answer is A.

3.

El número que está justo a la mitad entre 18\tfrac18 y 110\tfrac{1}{10} es
The number halfway between 18\tfrac18 and 110\tfrac{1}{10} is
180\dfrac{1}{80}
140\dfrac{1}{40}
118\dfrac{1}{18}
19\dfrac{1}{9}
980\dfrac{9}{80}
Respuesta: E
Conceptos:fracciónmedia
Nivel de dificultad: 880
Pista pequeña:
El número que está a la mitad entre dos valores es su promedio.
The number halfway between two values is their average
Pista grande:
Calcula 12(18+110)\dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right)
Compute 12(18+110)\dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right)
Solución:
El punto medio es el promedio 12(18+110)=12⋅1880=980. \dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right) = \dfrac12 \cdot \dfrac{18}{80} = \dfrac{9}{80}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The halfway point is the average 12(18+110)=12⋅1880=980. \dfrac12\left(\dfrac18 + \dfrac{1}{10}\right) = \dfrac12 \cdot \dfrac{18}{80} = \dfrac{9}{80}.
Thus, the correct answer is E.

4.

Halla la suma de todos los números primos entre 11 y 100100 que son simultáneamente 11 mayor que un múltiplo de 44 y 11 menor que un múltiplo de 5.5.
Find the sum of all prime numbers between 11 and 100100 that are simultaneously 11 greater than a multiple of 44 and 11 less than a multiple of 5.5.
118118
137137
158158
187187
245245
Respuesta: A
Conceptos:aritmética modularprimoTeorema chino del resto
Nivel de dificultad: 1240
Pista pequeña:
Un número 11 menor que un múltiplo de 55 tiene cifra de las unidades 44 o 99
A number 11 less than a multiple of 55 has units digit 44 or 99
Pista grande:
Ser además ≡1(mod4)\equiv 1 \pmod 4 obliga a que el número sea ≡9(mod20)\equiv 9 \pmod{20}
Being also ≡1(mod4)\equiv 1 \pmod 4 forces the number to be ≡9(mod20)\equiv 9 \pmod{20}
Solución:
Un número que es 11 menor que un múltiplo de 55 termina en 44 o 9,9, y uno que es 11 mayor que un múltiplo de 44 es impar. Juntas, estas condiciones dan números ≡9(mod20),\equiv 9 \pmod{20}, a saber 9,29,49,69,89.9, 29, 49, 69, 89.
Entre estos, solo 2929 y 8989 son primos, y su suma es 29+89=118.29 + 89 = 118.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
A number that is 11 less than a multiple of 55 ends in 44 or 9,9, and one that is 11 greater than a multiple of 44 is odd. Together these give numbers ≡9(mod20),\equiv 9 \pmod{20}, namely 9,29,49,69,89.9, 29, 49, 69, 89.
Among these, only 2929 and 8989 are prime, and their sum is 29+89=118.29 + 89 = 118.
Thus, the correct answer is A.

5.

El precio marcado de un libro era 30%30\% menor que el precio de venta sugerido. Alice compró el libro por la mitad del precio marcado en una venta del Quincuagésimo Aniversario. ¿Qué porcentaje del precio de venta sugerido pagó Alice?
The marked price of a book was 30%30\% less than the suggested retail price. Alice purchased the book for half the marked price at a Fiftieth Anniversary sale. What percent of the suggested retail price did Alice pay?
25%25\%
30%30\%
35%35\%
60%60\%
65%65\%
Respuesta: C
Conceptos:porcentaje
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Sea PP el precio de venta sugerido.
Let the suggested retail price be PP
Pista grande:
El precio marcado es 0.7P,0.7P, y Alice paga la mitad de eso.
The marked price is 0.7P,0.7P, and Alice pays half of that
Solución:
Si el precio de venta sugerido es P,P, entonces el precio marcado es 0.7P.0.7P. Alice paga la mitad de esto, 0.35P,0.35P, que es el 35%35\% del precio de venta sugerido.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
If the suggested retail price is P,P, then the marked price is 0.7P.0.7P. Alice pays half of this, 0.35P,0.35P, which is 35%35\% of the suggested retail price.
Thus, the correct answer is C.

6.

¿Cuál es la suma de las cifras de la forma decimal del producto 21999⋅520012^{1999} \cdot 5^{2001}?
What is the sum of the digits of the decimal form of the product 21999⋅52001?2^{1999} \cdot 5^{2001}?
22
44
55
77
1010
Respuesta: D
Conceptos:exponentedígitos
Nivel de dificultad: 1170
Pista pequeña:
Empareja cada factor 22 con un factor 55 para formar 1010.
Pair each factor of 22 with a factor of 55 to make 1010
Pista grande:
21999⋅52001=52⋅1019992^{1999} \cdot 5^{2001} = 5^2 \cdot 10^{1999}
Solución:
Escribe 21999⋅52001=21999⋅51999⋅52=25⋅101999, \begin{aligned} 2^{1999} \cdot 5^{2001} &= 2^{1999} \cdot 5^{1999} \cdot 5^2 \\ &= 25 \cdot 10^{1999}, \end{aligned} que es 2525 seguido de 19991999 ceros. La suma de las cifras es 2+5=7.2 + 5 = 7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Write 21999⋅52001=21999⋅51999⋅52=25⋅101999, \begin{aligned} 2^{1999} \cdot 5^{2001} &= 2^{1999} \cdot 5^{1999} \cdot 5^2 \\ &= 25 \cdot 10^{1999}, \end{aligned} which is 2525 followed by 19991999 zeros. The sum of the digits is 2+5=7.2 + 5 = 7.
Thus, the correct answer is D.

7.

¿Cuál es el mayor número de ángulos agudos que puede tener un hexágono convexo?
What is the largest number of acute angles that a convex hexagon can have?
22
33
44
55
66
Respuesta: B
Conceptos:suma de ángulosacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Los ángulos exteriores de un polígono convexo suman 360∘360^\circ.
The exterior angles of a convex polygon sum to 360∘360^\circ
Pista grande:
Un ángulo interior agudo da un ángulo exterior mayor que 90∘90^\circ.
An acute interior angle gives an exterior angle greater than 90∘90^\circ
Solución:
Cada ángulo interior agudo corresponde a un ángulo exterior mayor que 90∘.90^\circ. Como los ángulos exteriores de un polígono convexo suman 360∘,360^\circ, a lo sumo tres pueden superar 90∘.90^\circ. Esta cota se alcanza: tomemos un hexágono de lados iguales cuyos ángulos exteriores alternan entre 100∘100^\circ y 20∘.20^\circ. Las direcciones de sus lados se dividen en dos ternas separadas por 120∘120^\circ, así que se cierra, y sus ángulos interiores alternan entre 80∘80^\circ y 160∘.160^\circ. Por tanto, el máximo es tres.
Así, la respuesta correcta es B.
Each acute interior angle corresponds to an exterior angle greater than 90∘.90^\circ. Since the exterior angles of a convex polygon sum to 360∘,360^\circ, at most three of them can exceed 90∘.90^\circ. This bound is attainable: take a hexagon with equal side lengths and exterior angles alternating 100∘100^\circ and 20∘.20^\circ. Its edge directions split into two triples 120∘120^\circ apart, so it closes, and its interior angles alternate between 80∘80^\circ and 160∘.160^\circ. Hence the largest possible number is three.
Thus, the correct answer is B.

8.

Al final de 19941994 Walter tenía la mitad de la edad de su abuela. La suma de los años en que nacieron es 3838.3838. ¿Cuántos años tendrá Walter al final de 19991999?
At the end of 19941994 Walter was half as old as his grandmother. The sum of the years in which they were born is 3838.3838. How old will Walter be at the end of 1999?1999?
4848
4949
5353
5555
101101
Respuesta: D
Conceptos:edadesecuación lineal
Nivel de dificultad: 1240
Pista pequeña:
Sea ww la edad de Walter y 2w2w la de su abuela al final de 19941994.
Let Walter be ww and his grandmother 2w2w at the end of 19941994
Pista grande:
Sus años de nacimiento son 1994−w1994 - w y 1994−2w1994 - 2w
Their birth years are 1994−w1994 - w and 1994−2w1994 - 2w
Solución:
Sea ww la edad de Walter al final de 1994,1994, de modo que su abuela tiene 2w.2w. Sus años de nacimiento son 1994−w1994 - w y 1994−2w,1994 - 2w, y (1994−w)+(1994−2w)=3838. \begin{aligned} &(1994 - w) \\ &\quad {}+ (1994 - 2w) = 3838. \end{aligned} Esto da 3988−3w=3838,3988 - 3w = 3838, así que w=50.w = 50.
Al final de 1999,1999, Walter tendrá 50+5=55.50 + 5 = 55.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let Walter be ww years old at the end of 1994,1994, so his grandmother is 2w.2w. Their birth years are 1994−w1994 - w and 1994−2w,1994 - 2w, and (1994−w)+(1994−2w)=3838. \begin{aligned} &(1994 - w) \\ &\quad {}+ (1994 - 2w) = 3838. \end{aligned} This gives 3988−3w=3838,3988 - 3w = 3838, so w=50.w = 50.
At the end of 1999,1999, Walter will be 50+5=55.50 + 5 = 55.
Thus, the correct answer is D.

9.

Antes de que Ashley comenzara un viaje de tres horas en auto, el cuentakilómetros de su auto marcaba 29792,29792, un palíndromo, es decir, un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. En su destino, el cuentakilómetros marcaba otro palíndromo. Si Ashley nunca superó el límite de velocidad de 7575 millas por hora, ¿cuál de las siguientes fue su mayor velocidad promedio posible?
Before Ashley started a three-hour drive, her car’s odometer reading was 29792,29792, a palindrome. (A palindrome is a number that reads the same way from left to right as it does from right to left.) At her destination, the odometer reading was another palindrome. If Ashley never exceeded the speed limit of 7575 miles per hour, which of the following was her greatest possible average speed?
331333\tfrac13
531353\tfrac13
662366\tfrac23
701370\tfrac13
741374\tfrac13
Respuesta: D
Conceptos:palíndromodistancia, velocidad y tiempoacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1390
Pista pequeña:
Enumera los palíndromos justo por encima de 2979229792.
List the palindromes just above 2979229792
Pista grande:
La distancia en 33 horas no puede superar 3⋅75=2253 \cdot 75 = 225 millas.
The distance in 33 hours cannot exceed 3⋅75=2253 \cdot 75 = 225 miles
Solución:
Los palíndromos después de 2979229792 son 29892,29992,30003,29892, 29992, 30003, y 30103.30103. En tres horas Ashley puede recorrer a lo sumo 3⋅75=2253 \cdot 75 = 225 millas.
Llegar a 3010330103 requeriría 30103−29792=31130103 - 29792 = 311 millas, lo cual es demasiado lejos. Llegar a 3000330003 requiere 30003−29792=21130003 - 29792 = 211 millas, dando una velocidad promedio de 2113=7013\dfrac{211}{3} = 70\tfrac13 millas por hora.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The palindromes after 2979229792 are 29892,29992,30003,29892, 29992, 30003, and 30103.30103. In three hours Ashley can drive at most 3⋅75=2253 \cdot 75 = 225 miles.
Reaching 3010330103 would require 30103−29792=31130103 - 29792 = 311 miles, which is too far. Reaching 3000330003 requires 30003−29792=21130003 - 29792 = 211 miles, giving average speed 2113=7013\dfrac{211}{3} = 70\tfrac13 miles per hour.
Thus, the correct answer is D.

10.

Un sobre sellado contiene una tarjeta con una sola cifra escrita. Tres de los siguientes enunciados son verdaderos y el otro es falso.
I. La cifra es 1.1.
II. La cifra no es 2.2.
III. La cifra es 3.3.
IV. La cifra no es 4.4.
¿Cuál de los siguientes debe ser necesariamente correcto?
A sealed envelope contains a card with a single digit on it. Three of the following statements are true, and the other is false.
I. The digit is 1.1.
II. The digit is not 2.2.
III. The digit is 3.3.
IV. The digit is not 4.4.
Which one of the following must necessarily be correct?
I\mathrm{I} es verdadero.
I\mathrm{I} is true.
I\mathrm{I} es falso.
I\mathrm{I} is false.
II\mathrm{II} es verdadero.
II\mathrm{II} is true.
III\mathrm{III} es verdadero.
III\mathrm{III} is true.
IV\mathrm{IV} es falso.
IV\mathrm{IV} is false.
Respuesta: C
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 1370
Pista pequeña:
Los enunciados I y III no pueden ser ambos verdaderos.
Statements I and III cannot both be true
Pista grande:
Exactamente un enunciado es falso, así que el falso es I o III.
Exactly one statement is false, so the false one is I or III
Solución:
Los enunciados I y III no pueden ser ambos verdaderos, así que el único enunciado falso es uno de ellos. Por lo tanto los enunciados II y IV son ambos verdaderos, lo que hace que “II es verdadero” sea necesariamente correcto.
La cifra es entonces 11 o 3.3. Si fuera 1,1, entonces (B) y (D) son falsos; si fuera 3,3, entonces (A) es falso; y (E) siempre es incorrecto. Solo (C) está garantizado.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Statements I and III cannot both be true, so the single false statement is one of them. Therefore statements II and IV are both true, which makes “II is true” necessarily correct.
The digit is thus 11 or 3.3. If it were 1,1, then (B) and (D) are false; if it were 3,3, then (A) is false; and (E) is always incorrect. Only (C) is guaranteed.
Thus, the correct answer is C.

11.

Los casilleros de los estudiantes de Olympic High están numerados consecutivamente empezando por el casillero número 1.1. Las cifras de plástico usadas para numerar los casilleros cuestan 22 centavos cada una. Así, cuesta 22 centavos rotular el casillero número 99 y 44 centavos rotular el casillero número 10.10. Si cuesta $137.94\$137.94 rotular todos los casilleros, ¿cuántos casilleros hay en la escuela?
The student lockers at Olympic High are numbered consecutively beginning with locker number 1.1. The plastic digits used to number the lockers cost 22 cents apiece. Thus, it costs 22 cents to label locker number 99 and 44 cents to label locker number 10.10. If it costs $137.94\$137.94 to label all the lockers, how many lockers are there at the school?
20012001
20102010
21002100
27262726
68976897
Respuesta: A
Conceptos:dígitosconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Divide el costo total entre el costo por cifra para obtener el número de cifras.
Divide the total cost by the cost per digit to get the number of digits
Pista grande:
Resta las cifras usadas por los casilleros 11-9,9, 1010-99,99, y 100100-999999.
Subtract the digits used by lockers 11-9,9, 1010-99,99, and 100100-999999
Solución:
Rotular cuesta $137.94$0.02=6897\frac{\$137.94}{\$0.02} = 6897 cifras. Los casilleros 11-99 usan 99 cifras, los casilleros 1010-9999 usan 2⋅90=1802 \cdot 90 = 180 cifras, y los casilleros 100100-999999 usan 3⋅900=27003 \cdot 900 = 2700 cifras.
Las cifras restantes son 6897−2700−180−9=4008,6897 - 2700 - 180 - 9 = 4008, que rotulan 40084=1002\frac{4008}{4} = 1002 casilleros de cuatro cifras. En total hay 999+1002=2001999 + 1002 = 2001 casilleros.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Labeling costs $137.94$0.02=6897\frac{\$137.94}{\$0.02} = 6897 digits. Lockers 11-99 use 99 digits, lockers 1010-9999 use 2⋅90=1802 \cdot 90 = 180 digits, and lockers 100100-999999 use 3⋅900=27003 \cdot 900 = 2700 digits.
The remaining digits number 6897−2700−180−9=4008,6897 - 2700 - 180 - 9 = 4008, which label 40084=1002\frac{4008}{4} = 1002 four-digit lockers. In all there are 999+1002=2001999 + 1002 = 2001 lockers.
Thus, the correct answer is A.

12.

¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de las gráficas de dos funciones polinómicas de cuarto grado diferentes y=p(x)y = p(x) y y=q(x),y = q(x), cada una con coeficiente principal 11?
What is the maximum number of points of intersection of the graphs of two different fourth degree polynomial functions y=p(x)y = p(x) and y=q(x),y = q(x), each with leading coefficient 1?1?
11
22
33
44
88
Respuesta: C
Conceptos:polinomioconteo de intersecciones
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Las intersecciones ocurren donde p(x)=q(x)p(x) = q(x).
Intersections occur where p(x)=q(x)p(x) = q(x)
Pista grande:
Los términos principales x4x^4 se cancelan en p(x)−q(x)p(x) - q(x).
The leading x4x^4 terms cancel in p(x)−q(x)p(x) - q(x)
Solución:
Las coordenadas xx de los puntos de intersección son las raíces de p(x)−q(x).p(x) - q(x). Como ambos coeficientes principales son 1,1, los términos x4x^4 se cancelan, así que p(x)−q(x)p(x) - q(x) tiene grado a lo sumo 33 y por lo tanto a lo sumo 33 raíces. La cota se alcanza, por ejemplo tomando p(x)=x4p(x) = x^4 y q(x)=x4−x(x−1)(x+1),q(x) = x^4 - x(x-1)(x+1), cuyas gráficas se intersecan en x=−1,0,1.x = -1, 0, 1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The xx-coordinates of the intersection points are the roots of p(x)−q(x).p(x) - q(x). Because both leading coefficients are 1,1, the x4x^4 terms cancel, so p(x)−q(x)p(x) - q(x) has degree at most 33 and therefore at most 33 roots. The bound is attainable, for example by taking p(x)=x4p(x) = x^4 and q(x)=x4−x(x−1)(x+1),q(x) = x^4 - x(x-1)(x+1), whose graphs intersect at x=−1,0,1.x = -1, 0, 1.
Thus, the correct answer is C.

13.

Define una sucesión de números reales a1,a_1, a2,a_2, a3,a_3, …\ldots mediante a1=1a_1 = 1 y an+13=99an3a_{n+1}^3 = 99 a_n^3 para todo n≥1.n \ge 1. Entonces a100a_{100} es igual a
Define a sequence of real numbers a1,a_1, a2,a_2, a3,a_3, …\ldots by a1=1a_1 = 1 and an+13=99an3a_{n+1}^3 = 99 a_n^3 for all n≥1.n \ge 1. Then a100a_{100} equals
333333^{33}
339933^{99}
993399^{33}
999999^{99}
ninguna de las anteriores
none of these
Respuesta: C
Conceptos:sucesión geométricaexponente
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
Toma raíces cúbicas: an+1=993 ana_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n
Take cube roots: an+1=993 ana_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n
Pista grande:
Es geométrica con razón 993,\sqrt[3]{99}, así que a100=(993)99a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}
This is geometric with ratio 993,\sqrt[3]{99}, so a100=(993)99a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}
Solución:
Tomando raíces cúbicas, an+1=993 an,a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n, así que la sucesión es geométrica con primer término 11 y razón 993.\sqrt[3]{99}. Entonces a100=(993)99=9933. a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Taking cube roots, an+1=993 an,a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n, so the sequence is geometric with first term 11 and ratio 993.\sqrt[3]{99}. Then a100=(993)99=9933. a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.
Thus, the correct answer is C.

14.

Cuatro chicas, Mary, Alina, Tina y Hanna, cantaron canciones en un concierto como tríos, con una chica descansando cada vez. Hanna cantó 77 canciones, más que cualquier otra chica, y Mary cantó 44 canciones, menos que cualquier otra chica. ¿Cuántas canciones cantaron estos tríos?
Four girls — Mary, Alina, Tina, and Hanna — sang songs in a concert as trios, with one girl sitting out each time. Hanna sang 77 songs, which was more than any other girl, and Mary sang 44 songs, which was fewer than any other girl. How many songs did these trios sing?
77
88
99
1010
1111
Respuesta: A
Conceptos:divisibilidaddoble conteoacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1610
Pista pequeña:
Cada canción tiene 33 cantantes, así que el número total de apariciones de chicas es 3N3N.
Each song has 33 singers, so the total number of girl-appearances is 3N3N
Pista grande:
Alina y Tina cantaron cada una 55 o 6,6, y el total debe ser múltiplo de 33.
Alina and Tina each sang 55 or 6,6, and the total must be a multiple of 33
Solución:
Si se cantan NN canciones, el número total de apariciones de chicas es 3N.3N. Alina y Tina cantaron cada una estrictamente entre 44 y 7,7, así que cada una cantó 55 o 6.6.
Entonces 3N=7+4+(Alina)+(Tina),3N = 7 + 4 + (\text{Alina}) + (\text{Tina}), que es 21,22,21, 22, o 23.23. Solo 2121 es múltiplo de 3,3, así que N=7.N = 7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
If NN songs are sung, the total number of girl-appearances is 3N.3N. Alina and Tina each sang strictly between 44 and 7,7, so each sang 55 or 6.6.
Then 3N=7+4+(Alina)+(Tina),3N = 7 + 4 + (\text{Alina}) + (\text{Tina}), which is 21,22,21, 22, or 23.23. Only 2121 is a multiple of 3,3, so N=7.N = 7.
Thus, the correct answer is A.

15.

Sea xx un número real tal que sec⁡x−tan⁡x=2.\sec x - \tan x = 2. ¿Cuánto vale sec⁡x+tan⁡x\sec x + \tan x?
Let xx be a real number such that sec⁡x−tan⁡x=2.\sec x - \tan x = 2. What is sec⁡x+tan⁡x?\sec x + \tan x?
0.10.1
0.20.2
0.30.3
0.40.4
0.50.5
Respuesta: E
Conceptos:identidad trigonométricadiferencia de cuadrados
Nivel de dificultad: 1550
Pista pequeña:
Recuerda la identidad sec⁡2x−tan⁡2x=1\sec^2 x - \tan^2 x = 1
Recall the identity sec⁡2x−tan⁡2x=1\sec^2 x - \tan^2 x = 1
Pista grande:
Factorízala como (sec⁡x−tan⁡x)(sec⁡x+tan⁡x)(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)
Factor it as (sec⁡x−tan⁡x)(sec⁡x+tan⁡x)(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x)
Solución:
Como sec⁡2x−tan⁡2x=1,\sec^2 x - \tan^2 x = 1, tenemos (sec⁡x−tan⁡x)(sec⁡x+tan⁡x)=1. \begin{aligned} &(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) \\ &\quad = 1. \end{aligned} Con sec⁡x−tan⁡x=2,\sec x - \tan x = 2, se sigue que sec⁡x+tan⁡x=12=0.5.\sec x + \tan x = \tfrac12 = 0.5.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Since sec⁡2x−tan⁡2x=1,\sec^2 x - \tan^2 x = 1, we have (sec⁡x−tan⁡x)(sec⁡x+tan⁡x)=1. \begin{aligned} &(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) \\ &\quad = 1. \end{aligned} With sec⁡x−tan⁡x=2,\sec x - \tan x = 2, it follows that sec⁡x+tan⁡x=12=0.5.\sec x + \tan x = \tfrac12 = 0.5.
Thus, the correct answer is E.

16.

¿Cuál es el radio de un círculo inscrito en un rombo con diagonales de longitud 1010 y 2424?
What is the radius of a circle inscribed in a rhombus with diagonals of length 1010 and 24?24?
44
5813\dfrac{58}{13}
6013\dfrac{60}{13}
55
66
Respuesta: C
Conceptos:rombocircunferencia inscrita, incentro e inradioTeorema de Pitágorasárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1610
Pista pequeña:
Las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos 55-1212-1313.
The diagonals cut the rhombus into four 55-1212-1313 right triangles
Pista grande:
El inradio es igual a la altura desde el centro hasta un lado del rombo.
The inradius equals the altitude from the center to a side of the rhombus
Solución:
Las semidiagonales son 55 y 12,12, así que cada lado del rombo es 52+122=13.\sqrt{5^2 + 12^2} = 13. Uno de los cuatro triángulos rectángulos formados por las diagonales tiene catetos 55 y 1212 y área 30.30.
La altura desde el centro hasta el lado de longitud 1313 es 2⋅3013=6013,\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}, que es el radio del círculo inscrito.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The half-diagonals are 55 and 12,12, so each side of the rhombus is 52+122=13.\sqrt{5^2 + 12^2} = 13. One of the four right triangles formed by the diagonals has legs 55 and 1212 and area 30.30.
The altitude from the center to the side of length 1313 is 2⋅3013=6013,\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}, which is the inscribed circle’s radius.
Thus, the correct answer is C.

17.

Sea P(x)P(x) un polinomio tal que cuando P(x)P(x) se divide entre x−19,x - 19, el residuo es 99,99, y cuando P(x)P(x) se divide entre x−99,x - 99, el residuo es 19.19. ¿Cuál es el residuo cuando P(x)P(x) se divide entre (x−19)(x−99)(x - 19)(x - 99)?
Let P(x)P(x) be a polynomial such that when P(x)P(x) is divided by x−19,x - 19, the remainder is 99,99, and when P(x)P(x) is divided by x−99,x - 99, the remainder is 19.19. What is the remainder when P(x)P(x) is divided by (x−19)(x−99)?(x - 19)(x - 99)?
−x+80-x + 80
x+80x + 80
−x+118-x + 118
x+118x + 118
00
Respuesta: C
Conceptos:polinomiosistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1680
Pista pequeña:
Dividir entre un cuadrático deja un residuo de la forma ax+bax + b.
Dividing by a quadratic leaves a remainder of the form ax+bax + b
Pista grande:
Usa P(19)=99P(19) = 99 y P(99)=19P(99) = 19.
Use P(19)=99P(19) = 99 and P(99)=19P(99) = 19
Solución:
Por el Teorema del Residuo, P(19)=99P(19) = 99 y P(99)=19.P(99) = 19. Escribe P(x)=(x−19)(x−99)Q(x)+ax+b. \begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned} Entonces 19a+b=99,99a+b=19. 19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.
Al restar se obtiene 80a=−80,80a = -80, así que a=−1a = -1 y b=118.b = 118. El residuo es −x+118.-x + 118.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
By the Remainder Theorem, P(19)=99P(19) = 99 and P(99)=19.P(99) = 19. Write P(x)=(x−19)(x−99)Q(x)+ax+b. \begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned} Then 19a+b=99,99a+b=19. 19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.
Subtracting gives 80a=−80,80a = -80, so a=−1a = -1 and b=118.b = 118. The remainder is −x+118.-x + 118.
Thus, the correct answer is C.

18.

¿Cuántos ceros tiene f(x)=cos⁡(log⁡x)f(x) = \cos(\log x) en el intervalo 0<x<10 \lt x \lt 1?
How many zeros does f(x)=cos⁡(log⁡x)f(x) = \cos(\log x) have on the interval 0<x<1?0 \lt x \lt 1?
00
11
22
1010
infinitos
infinitely many
Respuesta: E
Conceptos:trigonometríalogaritmofunción
Nivel de dificultad: 1770
Pista pequeña:
Cuando xx recorre (0,1),(0, 1), ¿qué valores toma log⁡x\log x?
As xx ranges over (0,1),(0, 1), what values does log⁡x\log x take?
Pista grande:
log⁡x\log x cubre todos los números negativos, y el coseno se anula en infinitos de ellos.
log⁡x\log x covers all negative numbers, and cosine vanishes at infinitely many of them
Solución:
Cuando xx recorre (0,1),(0, 1), log⁡x\log x recorre todos los números reales negativos. La función coseno es cero en π2−nπ\tfrac{\pi}{2} - n\pi para todo entero positivo n,n, todos ellos negativos, así que ff tiene infinitos ceros.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
As xx ranges over (0,1),(0, 1), log⁡x\log x ranges over all negative real numbers. The cosine function is zero at π2−nπ\tfrac{\pi}{2} - n\pi for every positive integer n,n, all of which are negative, so ff has infinitely many zeros.
Thus, the correct answer is E.

19.

Considera todos los triángulos ABCABC que satisfacen las siguientes condiciones: AB=AC,AB = AC, DD es un punto sobre AC‾\overline{AC} para el cual BD‾⊥AC‾,\overline{BD} \perp \overline{AC}, ADAD y CDCD son enteros, y BD2=57.BD^2 = 57. Entre todos esos triángulos, el menor valor posible de ACAC es
Consider all triangles ABCABC satisfying the following conditions: AB=AC,AB = AC, DD is a point on AC‾\overline{AC} for which BD‾⊥AC‾,\overline{BD} \perp \overline{AC}, ADAD and CDCD are integers, and BD2=57.BD^2 = 57. Among all such triangles, the smallest possible value of ACAC is
99
1010
1111
1212
1313
Respuesta: C
Conceptos:triángulo isóscelesTeorema de PitágorasEcuación diofántica
Nivel de dificultad: 1810
Pista pequeña:
El triángulo rectángulo ADBADB da AB2=AD2+BD2AB^2 = AD^2 + BD^2.
Right triangle ADBADB gives AB2=AD2+BD2AB^2 = AD^2 + BD^2
Pista grande:
Con AB=AC=AD+CD,AB = AC = AD + CD, reduce a CD(CD+2 AD)=57CD(CD + 2\,AD) = 57.
With AB=AC=AD+CD,AB = AC = AD + CD, reduce to CD(CD+2 AD)=57CD(CD + 2\,AD) = 57
Solución:
Sea AD=nAD = n y CD=m.CD = m. Como △ADB\triangle ADB es rectángulo en D,D, AB2=n2+57.AB^2 = n^2 + 57. Además AB=AC=m+n,AB = AC = m + n, así que (m+n)2=n2+57, (m + n)^2 = n^2 + 57, lo que se simplifica a m(m+2n)=57.m(m + 2n) = 57.
Las soluciones enteras positivas son m=1,n=28m = 1, n = 28 (que dan AC=29AC = 29) y m=3,n=8m = 3, n = 8 (que dan AC=11AC = 11). El menor valor posible de ACAC es 11.11.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let AD=nAD = n and CD=m.CD = m. Since △ADB\triangle ADB is right-angled at D,D, AB2=n2+57.AB^2 = n^2 + 57. Also AB=AC=m+n,AB = AC = m + n, so (m+n)2=n2+57, (m + n)^2 = n^2 + 57, which simplifies to m(m+2n)=57.m(m + 2n) = 57.
The positive integer solutions are m=1,n=28m = 1, n = 28 (giving AC=29AC = 29) and m=3,n=8m = 3, n = 8 (giving AC=11AC = 11). The smallest possible value of ACAC is 11.11.
Thus, the correct answer is C.

20.

La sucesión a1,a_1, a2,a_2, a3,a_3, …\ldots satisface a1=19,a_1 = 19, a9=99,a_9 = 99, y, para todo n≥3,n \ge 3, ana_n es la media aritmética de los primeros n−1n - 1 términos. Halla a2.a_2.
The sequence a1,a_1, a2,a_2, a3,a_3, …\ldots satisfies a1=19,a_1 = 19, a9=99,a_9 = 99, and, for all n≥3,n \ge 3, ana_n is the arithmetic mean of the first n−1n - 1 terms. Find a2.a_2.
2929
5959
7979
9999
179179
Respuesta: E
Conceptos:recursiónmediainvariante
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Muestra que ana_n es constante para todo n≥3n \ge 3.
Show that ana_n is constant for all n≥3n \ge 3
Pista grande:
Entonces a3=a9=99a_3 = a_9 = 99 y a3=a1+a22a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}.
Then a3=a9=99a_3 = a_9 = 99 and a3=a1+a22a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}
Solución:
Para n≥3,n \ge 3, (n−1)an=a1+⋯+an−1.(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}. Entonces an+1=(n−1)an+ann=an, a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n, así que la sucesión es constante a partir de a3a_3 en adelante. Por lo tanto a3=a9=99.a_3 = a_9 = 99.
Como a3=a1+a22=19+a22=99,a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99, obtenemos a2=179.a_2 = 179.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
For n≥3,n \ge 3, (n−1)an=a1+⋯+an−1.(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}. Then an+1=(n−1)an+ann=an, a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n, so the sequence is constant from a3a_3 onward. Hence a3=a9=99.a_3 = a_9 = 99.
Since a3=a1+a22=19+a22=99,a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99, we get a2=179.a_2 = 179.
Thus, the correct answer is E.

21.

Se circunscribe un círculo a un triángulo con lados 20,20, 21,21, y 29,29, dividiendo así el interior del círculo en cuatro regiones. Sean A,A, B,B, y CC las áreas de las regiones no triangulares, siendo CC la mayor. Entonces
A circle is circumscribed about a triangle with sides 20,20, 21,21, and 29,29, thus dividing the interior of the circle into four regions. Let A,A, B,B, and CC be the areas of the non-triangular regions, with CC being the largest. Then
A+B=CA + B = C
A+B+210=CA + B + 210 = C
A2+B2=C2A^2 + B^2 = C^2
20A+21B=29C20A + 21B = 29C
1A2+1B2=1C2\dfrac{1}{A^2} + \dfrac{1}{B^2} = \dfrac{1}{C^2}
Respuesta: B
Conceptos:triángulo rectánguloárea del círculodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1810
Pista pequeña:
Comprueba si 20,21,2920, 21, 29 forman un triángulo rectángulo.
Check whether 20,21,2920, 21, 29 form a right triangle
Pista grande:
La hipotenusa es un diámetro, así que la mayor región CC es un semicírculo.
The hypotenuse is a diameter, so the largest region CC is a semicircle
Solución:
Como 202+212=841=292,20^2 + 21^2 = 841 = 29^2, el triángulo es rectángulo, y su hipotenusa de longitud 2929 es un diámetro del círculo. Así, la mayor región CC es el semicírculo de un lado de ese diámetro.
El otro semicírculo consiste en el triángulo junto con las regiones AA y B.B. Como los dos semicírculos son congruentes y el triángulo tiene área 12⋅20⋅21=210,\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210, obtenemos A+B+210=C. A + B + 210 = C.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since 202+212=841=292,20^2 + 21^2 = 841 = 29^2, the triangle is right-angled, and its hypotenuse of length 2929 is a diameter of the circle. Thus the largest region CC is the semicircle on one side of that diameter.
The other semicircle consists of the triangle together with regions AA and B.B. Since the two semicircles are congruent and the triangle has area 12⋅20⋅21=210,\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210, we get A+B+210=C. A + B + 210 = C.
Thus, the correct answer is B.

22.

Las gráficas de y=−∣x−a∣+by = -|x - a| + b y y=∣x−c∣+dy = |x - c| + d se intersecan en los puntos (2,5)(2, 5) y (8,3).(8, 3). Halla a+c.a + c.
The graphs of y=−∣x−a∣+by = -|x - a| + b and y=∣x−c∣+dy = |x - c| + d intersect at points (2,5)(2, 5) and (8,3).(8, 3). Find a+c.a + c.
77
88
1010
1313
1818
Respuesta: C
Conceptos:valor absolutogeometría analíticapunto medio
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
La primera gráfica alcanza su máximo en (a,b);(a, b); la segunda su mínimo en (c,d)(c, d).
The first graph peaks at (a,b);(a, b); the second bottoms out at (c,d)(c, d)
Pista grande:
Reescribe la ecuación de intersección como ∣x−a∣+∣x−c∣=b−d|x-a|+|x-c|=b-d y usa la simetría.
Rewrite the intersection equation as ∣x−a∣+∣x−c∣=b−d|x-a|+|x-c|=b-d and use symmetry
Solución:
En una intersección, −∣x−a∣+b=∣x−c∣+d,-|x-a|+b=|x-c|+d, o bien ∣x−a∣+∣x−c∣=b−d.|x-a|+|x-c|=b-d. Como hay dos intersecciones aisladas, estas quedan en lados opuestos del intervalo de extremos aa y c.c. Las dos soluciones son simétricas respecto de x=a+c2.x=\tfrac{a+c}{2}. Sus coordenadas xx son 22 y 8,8, así que a+c=2+8=10.a+c=2+8=10.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
At an intersection, −∣x−a∣+b=∣x−c∣+d,-|x-a|+b=|x-c|+d, or ∣x−a∣+∣x−c∣=b−d.|x-a|+|x-c|=b-d. Because there are two isolated intersections, they lie on opposite sides of the interval with endpoints aa and c.c. The two solutions are symmetric about x=a+c2.x=\tfrac{a+c}{2}. Their xx-coordinates are 22 and 8,8, so a+c=2+8=10.a+c=2+8=10.
Thus, the correct answer is C.

23.

El hexágono convexo equiángulo ABCDEFABCDEF tiene AB=1,AB = 1, BC=4,BC = 4, CD=2,CD = 2, y DE=4.DE = 4. El área del hexágono es
The equiangular convex hexagon ABCDEFABCDEF has AB=1,AB = 1, BC=4,BC = 4, CD=2,CD = 2, and DE=4.DE = 4. The area of the hexagon is
1523\dfrac{15}{2}\sqrt{3}
939\sqrt{3}
1616
3943\dfrac{39}{4}\sqrt{3}
4343\dfrac{43}{4}\sqrt{3}
Respuesta: E
Conceptos:polígono equiángulotriángulo equiláterodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1980
Pista pequeña:
Extiende lados alternos para encerrar el hexágono en un triángulo equilátero grande.
Extend alternate sides to enclose the hexagon in a large equilateral triangle
Pista grande:
Resta tres pequeños triángulos equiláteros de las esquinas del grande.
Subtract three small equilateral corner triangles from the large one
Solución:
Cada ángulo interior mide 120∘,120^\circ, así que al prolongar los pares de lados FAFA y BC,BC, BCBC y DE,DE, y DEDE y FAFA, se recortan tres triángulos equiláteros en las esquinas y se forma un gran triángulo equilátero.
Sean EF=eEF=e y FA=f.FA=f. Al descomponer los seis lados en direcciones separadas por 60∘60^\circ, se obtiene f−e=4f-e=4 y e+f=6,e+f=6, así que e=1e=1 y f=5.f=5. Por tanto, los triángulos de las esquinas construidos sobre AB,CD,AB, CD, y EFEF son equiláteros. El triángulo grande tiene lado 1+4+2=7,1+4+2=7, mientras que los triángulos eliminados tienen lados 1,2,1,2, y 1.1. El área es 34(72−12−22−12)=4334. \begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}
Así, la respuesta correcta es E.
Each interior angle is 120∘,120^\circ, so extending sides FAFA and BC,BC, BCBC and DE,DE, and DEDE and FAFA cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.
Let EF=eEF=e and FA=f.FA=f. Resolving the six sides in directions separated by 60∘60^\circ gives f−e=4f-e=4 and e+f=6,e+f=6, so e=1e=1 and f=5.f=5. The corner triangles built on AB,CD,AB, CD, and EFEF are therefore equilateral. The large triangle has side 1+4+2=7,1+4+2=7, while the removed triangles have sides 1,2,1,2, and 1.1. The area is 34(72−12−22−12)=4334. \begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is E.

24.

Se dan seis puntos sobre un círculo. Se seleccionan al azar cuatro de las cuerdas que unen pares de los seis puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro cuerdas formen un cuadrilátero convexo?
Six points on a circle are given. Four of the chords joining pairs of the six points are selected at random. What is the probability that the four chords form a convex quadrilateral?
115\dfrac{1}{15}
191\dfrac{1}{91}
1273\dfrac{1}{273}
1455\dfrac{1}{455}
11365\dfrac{1}{1365}
Respuesta: B
Conceptos:probabilidad básicacombinaciones
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Cualesquiera 44 de los 66 puntos determinan exactamente un cuadrilátero convexo.
Any 44 of the 66 points determine exactly one convex quadrilateral
Pista grande:
Cuenta todas las formas de elegir 44 cuerdas de las (62)\binom{6}{2} cuerdas.
Count all ways to choose 44 chords from the (62)\binom{6}{2} chords
Solución:
Hay (62)=15\binom{6}{2} = 15 cuerdas, así que (154)=1365\binom{15}{4} = 1365 formas de seleccionar cuatro de ellas. Un cuadrilátero convexo surge exactamente cuando las cuatro cuerdas son los lados de un cuadrilátero sobre cuatro de los seis puntos, y cada elección de 44 puntos da exactamente uno de tales cuadriláteros.
Por lo tanto hay (64)=15\binom{6}{4} = 15 resultados favorables, y la probabilidad es 151365=191.\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
There are (62)=15\binom{6}{2} = 15 chords, so (154)=1365\binom{15}{4} = 1365 ways to select four of them. A convex quadrilateral arises exactly when the four chords are the sides of a quadrilateral on four of the six points, and each choice of 44 points gives exactly one such quadrilateral.
Hence there are (64)=15\binom{6}{4} = 15 favorable outcomes, and the probability is 151365=191.\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.
Thus, the correct answer is B.

25.

Existen enteros únicos a2,a_2, a3,a_3, a4,a_4, a5,a_5, a6,a_6, a7a_7 tales que
57=a22!+a33!+a44!+a55!+a66!+a77!, \begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}, \end{aligned}
donde 0≤ai<i0 \le a_i \lt i para i=2,i = 2, 3,3, …,\ldots, 7.7. Halla a2+a3+a4+a5+a6+a7.a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7.
There are unique integers a2,a_2, a3,a_3, a4,a_4, a5,a_5, a6,a_6, a7a_7 such that
57=a22!+a33!+a44!+a55!+a66!+a77!, \begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}, \end{aligned}
where 0≤ai<i0 \le a_i \lt i for i=2,i = 2, 3,3, …,\ldots, 7.7. Find a2+a3+a4+a5+a6+a7.a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7.
88
99
1010
1111
1212
Respuesta: B
Conceptos:base numéricafactorialaritmética modular
Nivel de dificultad: 2030
Pista pequeña:
Multiplica ambos lados por 7!7!
Multiply both sides by 7!7!
Pista grande:
Reduce módulo 7,7, luego 6,6, luego 5,…5, \ldots para ir extrayendo una cifra a la vez.
Reduce modulo 7,7, then 6,6, then 5,…5, \ldots to peel off one digit at a time
Solución:
Multiplicando por 7!=50407! = 5040 se obtiene 3600=2520a2+840a3+210a4+42a5+7a6+a7. \begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7. \end{aligned} Reduciendo módulo 7,7, a7=2.a_7 = 2.
Luego 3600−27=514\dfrac{3600 - 2}{7} = 514 =360a2+120a3= 360a_2 + 120a_3 +30a4+6a5+ 30a_4 + 6a_5 +a6.+ a_6. Reduciendo módulo 66 se obtiene a6=4,a_6 = 4, y continuando de esta manera se llega a a5=0,a4=1,a3=1,a2=1.a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1.
La suma es 1+1+1+0+4+2=9.1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Multiplying by 7!=50407! = 5040 gives 3600=2520a2+840a3+210a4+42a5+7a6+a7. \begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7. \end{aligned} Reducing modulo 7,7, a7=2.a_7 = 2.
Then 3600−27=514\dfrac{3600 - 2}{7} = 514 =360a2+120a3= 360a_2 + 120a_3 +30a4+6a5+ 30a_4 + 6a_5 +a6.+ a_6. Reducing modulo 66 gives a6=4,a_6 = 4, and continuing this way yields a5=0,a4=1,a3=1,a2=1.a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1.
The sum is 1+1+1+0+4+2=9.1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9.
Thus, the correct answer is B.

26.

Tres polígonos regulares planos que no se solapan, de los cuales al menos dos son congruentes, tienen todos lados de longitud 1.1. Los polígonos se encuentran en un punto AA de tal manera que la suma de los tres ángulos interiores en AA es 360∘.360^\circ. Así, los tres polígonos forman un nuevo polígono con AA como punto interior. ¿Cuál es el mayor perímetro posible que puede tener este polígono?
Three non-overlapping regular plane polygons, at least two of which are congruent, all have sides of length 1.1. The polygons meet at a point AA in such a way that the sum of the three interior angles at AA is 360∘.360^\circ. Thus the three polygons form a new polygon with AA as an interior point. What is the largest possible perimeter that this polygon can have?
1212
1414
1818
2121
2424
Respuesta: D
Conceptos:polígono regularEcuación diofánticaperímetro
Nivel de dificultad: 2090
Pista pequeña:
Con dos aa-ágonos y un bb-ágono, 2⋅180(1−2a)2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) +180(1−2b)+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) =360= 360.
With two aa-gons and one bb-gon, 2⋅180(1−2a)2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) +180(1−2b)+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) =360= 360
Pista grande:
Esto se simplifica a (a−4)(b−2)=8(a - 4)(b - 2) = 8.
This simplifies to (a−4)(b−2)=8(a - 4)(b - 2) = 8
Solución:
Sea que dos aa-ágonos congruentes y un bb-ágono se encuentran en A.A. Sus ángulos interiores satisfacen 2⋅180(1−2a)+180(1−2b)=360, \begin{aligned} &2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) \\ &\quad {}+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) = 360, \end{aligned} lo que se reduce a (a−4)(b−2)=8.(a - 4)(b - 2) = 8.
Las soluciones (a,b)(a, b) son (5,10),(6,6),(8,4),(5, 10), (6, 6), (8, 4), y (12,3).(12, 3). El perímetro del nuevo polígono es 2a+b−6,2a + b - 6, dando 14,12,14,14, 12, 14, y 21.21. El mayor es 21.21.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let two congruent aa-gons and one bb-gon meet at A.A. Their interior angles satisfy 2⋅180(1−2a)+180(1−2b)=360, \begin{aligned} &2 \cdot 180\left(1 - \tfrac2a\right) \\ &\quad {}+ 180\left(1 - \tfrac2b\right) = 360, \end{aligned} which reduces to (a−4)(b−2)=8.(a - 4)(b - 2) = 8.
The solutions (a,b)(a, b) are (5,10),(6,6),(8,4),(5, 10), (6, 6), (8, 4), and (12,3).(12, 3). The new polygon’s perimeter is 2a+b−6,2a + b - 6, giving 14,12,14,14, 12, 14, and 21.21. The largest is 21.21.
Thus, the correct answer is D.

27.

En el triángulo ABC,ABC, 3sin⁡A+4cos⁡B=63\sin A + 4\cos B = 6 y 4sin⁡B+3cos⁡A=1.4\sin B + 3\cos A = 1. Entonces ∠C\angle C en grados es
In triangle ABC,ABC, 3sin⁡A+4cos⁡B=63\sin A + 4\cos B = 6 and 4sin⁡B+3cos⁡A=1.4\sin B + 3\cos A = 1. Then ∠C\angle C in degrees is
3030
6060
9090
120120
150150
Respuesta: A
Conceptos:identidad trigonométricasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 2120
Pista pequeña:
Eleva al cuadrado ambas ecuaciones y súmalas.
Square both equations and add them
Pista grande:
Usa sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1 para obtener sin⁡(A+B),\sin(A + B), luego descarta un caso.
Use sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1 to get sin⁡(A+B),\sin(A + B), then rule out one case
Solución:
Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se obtiene 9+16+24(sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B)=37, \begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned} así que 24sin⁡(A+B)=1224\sin(A + B) = 12 y sin⁡(A+B)=12.\sin(A + B) = \tfrac12.
Entonces sin⁡C=sin⁡(A+B)=12,\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12, así que ∠C=30∘\angle C = 30^\circ o 150∘.150^\circ. Si ∠C=150∘,\angle C = 150^\circ, entonces A<30∘,A \lt 30^\circ, haciendo que 3sin⁡A+4cos⁡B<6,3\sin A + 4\cos B \lt 6, una contradicción. Por lo tanto ∠C=30∘.\angle C = 30^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Squaring both equations and adding gives 9+16+24(sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B)=37, \begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned} so 24sin⁡(A+B)=1224\sin(A + B) = 12 and sin⁡(A+B)=12.\sin(A + B) = \tfrac12.
Then sin⁡C=sin⁡(A+B)=12,\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12, so ∠C=30∘\angle C = 30^\circ or 150∘.150^\circ. If ∠C=150∘,\angle C = 150^\circ, then A<30∘,A \lt 30^\circ, making 3sin⁡A+4cos⁡B<6,3\sin A + 4\cos B \lt 6, a contradiction. Hence ∠C=30∘.\angle C = 30^\circ.
Thus, the correct answer is A.

28.

Sea x1,x_1, x2,x_2, …,\ldots, xnx_n una sucesión de enteros tal que
(i) −1≤xi≤2,-1 \le x_i \le 2, para i=1,i = 1, 2,2, 3,3, …,\ldots, nn;
(ii) x1+x2+⋯+xn=19;x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19; y
(iii) x12+x22+⋯+xn2=99.x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.
Sean mm y MM los valores mínimo y máximo posibles de x13+x23+⋯+xn3,x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3, respectivamente. ¿Cuánto vale Mm\dfrac{M}{m}?
Let x1,x_1, x2,x_2, …,\ldots, xnx_n be a sequence of integers such that
(i) −1≤xi≤2,-1 \le x_i \le 2, for i=1,i = 1, 2,2, 3,3, …,\ldots, nn;
(ii) x1+x2+⋯+xn=19;x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 19; and
(iii) x12+x22+⋯+xn2=99.x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 99.
Let mm and MM be the minimal and maximal possible values of x13+x23+⋯+xn3,x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3, respectively. What is Mm?\dfrac{M}{m}?
33
44
55
66
77
Respuesta: E
Conceptos:sistema de ecuacionesoptimización
Nivel de dificultad: 2240
Pista pequeña:
Sean a,b,ca, b, c el número de −1-1, 11 y 22 (los ceros no importan).
Let a,b,ca, b, c count the −1-1s, 11s, and 22s (zeros do not matter)
Pista grande:
La suma de cubos es −a+b+8c=19+6c;-a + b + 8c = 19 + 6c; optimiza sobre el rango permitido de cc.
The sum of cubes is −a+b+8c=19+6c;-a + b + 8c = 19 + 6c; optimize over the allowed range of cc
Solución:
Sean a,b,ca, b, c el número de −1-1, 11 y 22. Entonces −a+b+2c=19-a + b + 2c = 19 y a+b+4c=99,a + b + 4c = 99, dando a=40−ca = 40 - c y b=59−3cb = 59 - 3c con 0≤c≤19.0 \le c \le 19.
La suma de cubos es −a+b+8c=19+6c.-a + b + 8c = 19 + 6c. El mínimo está en c=0c = 0 (valor 1919) y el máximo en c=19c = 19 (valor 133133), así que Mm=13319=7.\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let a,b,ca, b, c be the numbers of −1-1s, 11s, and 22s. Then −a+b+2c=19-a + b + 2c = 19 and a+b+4c=99,a + b + 4c = 99, giving a=40−ca = 40 - c and b=59−3cb = 59 - 3c with 0≤c≤19.0 \le c \le 19.
The sum of cubes is −a+b+8c=19+6c.-a + b + 8c = 19 + 6c. The minimum is at c=0c = 0 (value 1919) and the maximum at c=19c = 19 (value 133133), so Mm=13319=7.\dfrac{M}{m} = \dfrac{133}{19} = 7.
Thus, the correct answer is E.

29.

Un tetraedro con cuatro caras triangulares equiláteras tiene una esfera inscrita en su interior y una esfera circunscrita a su alrededor. Para cada una de las cuatro caras, hay una esfera tangente externamente a la cara en su centro y a la esfera circunscrita. Se selecciona al azar un punto PP dentro de la esfera circunscrita. La probabilidad de que PP esté dentro de una de las cinco esferas pequeñas es la más cercana a
A tetrahedron with four equilateral triangular faces has a sphere inscribed within it and a sphere circumscribed about it. For each of the four faces, there is a sphere tangent externally to the face at its center and to the circumscribed sphere. A point PP is selected at random inside the circumscribed sphere. The probability that PP lies inside one of the five small spheres is closest to
00
0.10.1
0.20.2
0.30.3
0.40.4
Respuesta: C
Conceptos:Geometría 3Desferaprobabilidad geométricavolumen
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:
Para un tetraedro regular el circunradio es 33 veces el inradio.
For a regular tetrahedron the circumradius is 33 times the inradius
Pista grande:
Cada una de las cinco esferas pequeñas tiene el mismo volumen que la esfera inscrita.
Each of the five small spheres has the same volume as the inscribed sphere
Solución:
Sea OO el centro común de las esferas inscrita y circunscrita. Dividir el tetraedro en cuatro piezas congruentes desde OO muestra que el circunradio es 33 veces el inradio, por lo que la esfera circunscrita tiene 2727 veces el volumen VV de la esfera inscrita.
Si una de las otras cuatro esferas pequeñas tiene radio s,s, su centro está a distancia r+sr+s de OO y también a distancia 3r−s3r-s de OO, así que s=r.s=r. Estas cinco esferas tienen interiores disjuntos (la esfera central es tangente a cada una de las otras cuatro), por lo que su unión tiene volumen 5V.5V. La probabilidad es 5V27V=527≈0.185,\dfrac{5V}{27V} = \dfrac{5}{27} \approx 0.185, la más cercana a 0.2.0.2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let OO be the common center of the inscribed and circumscribed spheres. Splitting the tetrahedron into four congruent pieces from OO shows the circumradius is 33 times the inradius, so the circumscribed sphere has 2727 times the inscribed sphere’s volume V.V.
If one of the four other small spheres has radius s,s, its center is r+sr+s from OO and also 3r−s3r-s from O,O, so s=r.s=r. These five spheres have disjoint interiors (the central sphere is tangent to each of the other four), so their union has volume 5V.5V. The probability is 5V27V=527≈0.185,\dfrac{5V}{27V} = \dfrac{5}{27} \approx 0.185, closest to 0.2.0.2.
Thus, the correct answer is C.

30.

El número de pares ordenados de enteros (m,n)(m, n) para los cuales mn≥0mn \ge 0 y
m3+n3+99mn=333m^3 + n^3 + 99mn = 33^3
es igual a
The number of ordered pairs of integers (m,n)(m, n) for which mn≥0mn \ge 0 and
m3+n3+99mn=333m^3 + n^3 + 99mn = 33^3
is equal to
22
33
3333
3535
9999
Respuesta: D
Conceptos:factorizaciónEcuación diofántica
Nivel de dificultad: 2460
Pista pequeña:
Como 99=3⋅33,99 = 3 \cdot 33, la ecuación es m3+n3+(−33)3m^3 + n^3 + (-33)^3 −3mn(−33)=0- 3mn(-33) = 0.
Since 99=3⋅33,99 = 3 \cdot 33, the equation is m3+n3+(−33)3m^3 + n^3 + (-33)^3 −3mn(−33)=0- 3mn(-33) = 0
Pista grande:
Usa x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3 −3xyz=(x+y+z)- 3xyz = (x + y + z) ⋅(x2+y2+z2−xy−yz−zx)\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx).
Use x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3 −3xyz=(x+y+z)- 3xyz = (x + y + z) ⋅(x2+y2+z2−xy−yz−zx)\cdot (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)
Solución:
Escribiendo z=−33,z = -33, la ecuación se convierte en m3+n3+z3−3mnz=0,m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0, que se factoriza como (m+n−33)⋅(m2+n2+332−mn+33m+33n)=0. \begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}
El segundo factor es igual a 12[(m−n)2+(m+33)2+(n+33)2],\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big], que es 00 solo en (m,n)=(−33,−33);(m, n) = (-33, -33); esto satisface mn≥0.mn \ge 0.
En caso contrario m+n=33.m + n = 33. Con mn≥0mn \ge 0 ambos son no negativos, dando (0,33),(1,32),…,(33,0),(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0), que son 3434 pares. En conjunto hay 3535 soluciones.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Writing z=−33,z = -33, the equation becomes m3+n3+z3−3mnz=0,m^3 + n^3 + z^3 - 3mnz = 0, which factors as (m+n−33)⋅(m2+n2+332−mn+33m+33n)=0. \begin{aligned} &(m + n - 33) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize\left(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33m + 33n\right) \\ &= 0. \end{aligned}
The second factor equals 12[(m−n)2+(m+33)2+(n+33)2],\scriptsize\tfrac12\big[(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2\big], which is 00 only at (m,n)=(−33,−33);(m, n) = (-33, -33); this satisfies mn≥0.mn \ge 0.
Otherwise m+n=33.m + n = 33. With mn≥0mn \ge 0 both are nonnegative, giving (0,33),(1,32),…,(33,0),(0, 33), (1, 32), \ldots, (33, 0), which is 3434 pairs. Together there are 3535 solutions.
Thus, the correct answer is D.