Question

La sucesión $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ satisface $a_1 = 19,$ $a_9 = 99,$ y, para todo $n \ge 3,$ $a_n$ es la media aritmética de los primeros $n - 1$ términos. Halla $a_2.$

The sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ satisfies $a_1 = 19,$ $a_9 = 99,$ and, for all $n \ge 3,$ $a_n$ is the arithmetic mean of the first $n - 1$ terms. Find $a_2.$

$29$

$59$

$79$

$99$

$179$

Respuesta: E

Conceptos:recursión media invariante

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Muestra que $a_n$ es constante para todo $n \ge 3$ .

Show that $a_n$ is constant for all $n \ge 3$

Pista grande:

Entonces $a_3 = a_9 = 99$ y $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$ .

Then $a_3 = a_9 = 99$ and $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$

Solución:

Para $n \ge 3,$ $(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.$ Entonces $a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,$ así que la sucesión es constante a partir de $a_3$ en adelante. Por lo tanto $a_3 = a_9 = 99.$

Como $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,$ obtenemos $a_2 = 179.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $n \ge 3,$ $(n - 1)a_n = a_1 + \cdots + a_{n-1}.$ Then $a_{n+1} = \dfrac{(n-1)a_n + a_n}{n} = a_n,$ so the sequence is constant from $a_3$ onward. Hence $a_3 = a_9 = 99.$

Since $a_3 = \dfrac{a_1 + a_2}{2} = \dfrac{19 + a_2}{2} = 99,$ we get $a_2 = 179.$

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 Problema 20

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años