Question

A continuación se muestran las filas $1,2,3,4,$ y $5$ de un arreglo triangular de enteros.

$\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}$

Cada fila después de la primera se forma colocando un $1$ en cada extremo de la fila, y cada entrada interior es $1$ mayor que la suma de los dos números diagonalmente por encima de ella en la fila anterior. ¿Cuál es el dígito de las unidades de la suma de los $2023$ números de la fila $2023$ ?

Rows $1,2,3,4,$ and $5$ of a triangular array of integers are shown below.

$\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}$

Each row after the first row is formed by placing a $1$ at each end of the row, and each interior entry is $1$ greater than the sum of the two numbers diagonally above it in the previous row. What is the units digit of the sum of the $2023$ numbers in the $2023$ rd row?

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Solución:

Sea $S_n$ la suma de la fila $n.$ Cada entrada interior es $1$ más que la suma de las dos entradas por encima de ella, y sumar sobre la fila da la recurrencia $S_n=2S_{n-1}+(n-2).$

Con $S_1=1,$ esto se resuelve como $S_n=2^n-n$ (verificación: $S_5=32-5=27$ $=1+7+11+7+1$ ).

Así que $S_{2023}=2^{2023}-2023.$ Como las potencias de $2$ tienen dígitos de las unidades que ciclan $2,4,8,6$ y $2023\equiv 3\pmod 4,$ $2^{2023}$ termina en $8.$ Entonces $8-3=5$ da dígito de las unidades $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $S_n$ be the sum of row $n.$ Each interior entry is $1$ more than the sum of the two entries above it, and summing over the row gives the recurrence $S_n=2S_{n-1}+(n-2).$

With $S_1=1,$ this solves to $S_n=2^n-n$ (check: $S_5=32-5=27$ $=1+7+11+7+1$ ).

So $S_{2023}=2^{2023}-2023.$ Since powers of $2$ cycle with units digits $2,4,8,6$ and $2023\equiv 3\pmod 4,$ $2^{2023}$ ends in $8.$ Then $8-3=5$ gives units digit $5.$

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años