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2013 AMC 12A Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2013 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Sea SS el conjunto {1,2,3,…,19}.\{1, 2, 3, \ldots, 19\}. Para a,a, b∈S,b \in S, define a≻ba \succ b para indicar que 0<a−b≤90 \lt a - b \le 9 o b−a>9.b - a \gt 9. ¿Cuántas ternas ordenadas (x,y,z)(x, y, z) de elementos de SS tienen la propiedad de que x≻y,x \succ y, y≻z,y \succ z, y z≻xz \succ x?
Let SS be the set {1,2,3,…,19}.\{1, 2, 3, \ldots, 19\}. For a,a, b∈S,b \in S, define a≻ba \succ b to mean that either 0<a−b≤90 \lt a - b \le 9 or b−a>9.b - a \gt 9. How many ordered triples (x,y,z)(x, y, z) of elements of SS have the property that x≻y,x \succ y, y≻z,y \succ z, and z≻x?z \succ x?
810810
855855
900900
950950
988988
Respuesta: B
Conceptos:aritmética modularconteo básico
Nivel de dificultad: 2220
Pista pequeña:
Trabaja módulo 19;19; entonces a≻ba \succ b significa 0<(a−b) mod 19≤90 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9
Work modulo 19;19; then a≻ba \succ b means 0<(a−b) mod 19≤90 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9
Pista grande:
Fija xx (1919 formas); sea y=x+iy = x + i con 1≤i≤9,1 \le i \le 9, entonces zz tiene ii opciones
Fix xx (1919 ways); let y=x+iy = x + i with 1≤i≤9,1 \le i \le 9, then zz has ii options
Solución:
Leyendo los elementos módulo 19,19, la relación a≻ba \succ b se cumple exactamente cuando 0<(a−b) mod 19≤9.0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.
Hay 1919 opciones para x.x. Una vez fijado xx, toma y=x+iy = x + i para algún 1≤i≤9.1 \le i \le 9. Entonces zz debe satisfacer x+10≤z≤x+9+i,x + 10 \le z \le x + 9 + i, lo que da ii opciones.
El total es 19(1+2+⋯+9)=19⋅4519(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45 =855.= 855.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Reading the elements modulo 19,19, the relation a≻ba \succ b holds exactly when 0<(a−b) mod 19≤9.0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.
There are 1919 choices for x.x. Once xx is fixed, take y=x+iy = x + i for some 1≤i≤9.1 \le i \le 9. Then zz must satisfy x+10≤z≤x+9+i,x + 10 \le z \le x + 9 + i, giving ii choices.
The total is 19(1+2+⋯+9)=19⋅4519(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45 =855.= 855.
Thus, the correct answer is B.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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