Question

Un conjunto de equipos disputó un torneo de todos contra todos en el que cada equipo jugó exactamente una vez contra cada uno de los demás. Cada equipo ganó $10$ partidos y perdió $10$ partidos; no hubo empates. ¿Cuántos conjuntos de tres equipos $\{A,B,C\}$ había en los que $A$ venció a $B,$ $B$ venció a $C,$ y $C$ venció a $A$ ?

A set of teams held a round-robin tournament in which every team played every other team exactly once. Every team won $10$ games and lost $10$ games; there were no ties. How many sets of three teams $\{A,B,C\}$ were there in which $A$ beat $B,$ $B$ beat $C,$ and $C$ beat $A?$

$385$

$665$

$945$

$1140$

$1330$

Solución:

Como cada equipo ganó $10$ y perdió $10,$ hay $21$ equipos y $\binom{21}{3}=1330$ tríos. Un trío no es cíclico exactamente cuando un equipo vence a los otros dos. Elegir ese equipo ( $21$ maneras) y $2$ de los $10$ equipos que venció da $21\cdot\binom{10}{2}=21\cdot45=945$ tríos no cíclicos. Por lo tanto, los tríos cíclicos son $1330-945=385.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since each team won $10$ and lost $10,$ there are $21$ teams and $\binom{21}{3}=1330$ triples. A triple is not cyclic exactly when one team beats both others. Choosing that team ( $21$ ways) and $2$ of the $10$ teams it beat gives $21\cdot\binom{10}{2}=21\cdot45=945$ non-cyclic triples. Thus the cyclic triples number $1330-945=385.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años